拓撲學(一)

相信拓撲學對一般中學生來說，是比較陌生的科目。因為中學數學課程裏面，只有代數，微積分，幾何，概率論，統計學等科目。而且拓撲學(topology)這個名詞確實撲朔迷離，全完不能從名字裏面猜出其意思。但這亦不代表中學生完全沒有接觸過拓撲學的某些基本概念。例如：
1) V – E + F = 2 這條公式，應該在小學或初中的數學課本出現過。如果你數出以下圖案的角(vertex)的總數V，邊(edge)的總數E及面(face)的總數F，再計算它們V – E + F 的值，答案永遠是2。

2) 一個拓撲學學者不懂得分辨一個甜圈(冬甩，doughnut)及一隻(有手抦的)咖啡杯。原因是，它們都共同有一個孔。

那拓撲學究竟是甚麼？

拓撲學跟幾何一樣，用作了解任何幾何物體的特性。但幾何學著重的是，一件幾何物體的面積是甚麼？兩點之間的距離是多少？兩條線之間的角度是多少？相反，拓撲學著重的是，這件物體有多少孔？我能否把一把泥膠從一個形狀「搓」成另一種形狀？(注意，就像上面咖啡杯的動畫一樣，我們不可以把泥膠黏起來，即不能把手抦上的泥膠硬黏上杯上，同時也不能把泥膠的任何部分撕開。)

注意，在「搓」的過程中，物體的表面面積明顯地改變了；而如果我們在泥膠上點上兩點，兩點間的距離會改變；同樣，如果我們在泥膠上畫上兩條相交線，兩條線間的角度也會改變。所以，以數學術語說，幾何學所研究的是物體局部(local)的特性，而拓撲學研究的則是物體宏觀(global)的特性。

上面例子 (1) 正是拓撲學的最佳例子。相信大家都不難想像怎樣把一塊泥膠，從正四邊形，「搓」成正六邊形，再「搓」成正八邊形，再「搓」成正十二邊形，再「搓」成正二十邊形，最後把它「搓」回正四邊形。所以在拓撲學上來說，這些形狀是等同的(homeomorphic)。最誘人的特點是，這些圖形V – E + F 的值，同樣是2。這種特點，在近三百年前已被數學家歐拉(Leonhard Euler)所發現。

如果你發現了這種特點，你會說這只是巧合，之後繼續打機逛街唱K拍拖，還是會去進一步研究當中的原因？是否任何拓撲學上等同的東西，V – E + F 也永遠等於2？