2008年7月10日 星期四

拓撲學(一)

相信拓撲學對一般中學生來說,是比較陌生的科目。因為中學數學課程面,只有代數,微積分,幾何,概率論,統計學等科目。而且拓撲學(topology)這個名詞確實撲朔迷離,全完不能從名字裏面猜出其意思。但這亦不代表中學生完全沒有接觸過拓撲學的某些基本概念。例如:
1)
V E + F = 2 這條公式,應該在小學或初中的數學課本出現過。如果你數出以下圖案的角(vertex)的總數V,邊(edge)的總數E及面(face)的總數F,再計算它們V E + F 的值,答案永遠是2

2) 一個拓撲學學者不懂得分辨一個甜圈(冬甩doughnut)及一隻(有手抦的)咖啡杯。原因是,它們都共同有一個孔。

那拓撲學究竟是甚麼?

拓撲學跟幾何一樣,用作了解任何幾何物體的特性。但幾何學著重的是,一件幾何物體的面積是甚麼?兩點之間的距離是多少?兩條線之間的角度是多少?相反,拓撲學著重的是,這件物體有多少孔?我能否把一把泥膠從一個形狀「搓」成另一種形狀?(注意,就像上面咖啡杯的動畫一樣,我們不可以把泥膠黏起來,即不能把手抦上的泥膠硬黏上杯上,同時也不能把泥膠的任何部分撕開。)

注意,在「搓」的過程中,物體的表面面積明顯地改變了;而如果我們在泥膠上點上兩點,兩點間的距離會改變;同樣,如果我們在泥膠上畫上兩條相交線,兩條線間的角度也會改變。所以,以數學術語說,幾何學所研究的是物體局部(local)的特性,而拓撲學研究的則是物體宏觀(global)的特性。

上面例子 (1) 正是拓撲學的最佳例子。相信大家都不難想像怎樣把一塊泥膠,從正四邊形,「搓」成正六邊形,再「搓」成正八邊形,再「搓」成正十二邊形,再「搓」成正二十邊形,最後把它「搓」回正四邊形。所以在拓撲學上來說,這些形狀是等同的(homeomorphic)。最誘人的特點是,這些圖形V E + F 的值,同樣是2。這種特點,在近三百年前已被數學家歐拉(Leonhard Euler)所發現。

如果你發現了這種特點,你會說這只是巧合,之後繼續打機逛街唱K拍拖,還是會去進一步研究當中的原因?是否任何拓撲學上等同的東西,V E + F 也永遠等於2

2 則留言:

Leo 提到...

Isn't V+E-F=2 only true for certain polyhedron?

Say a "cube, with a centre hollow area which is also of cube shape", then V+E-F=/=2

blog marketing 提到...

飞龙搬家公司,是一家专业性北京搬家公司,企业诚信,员工搬运专业,是北京搬家公司行业的后起新秀,公司长期为搬家免费纸箱。欢迎重询!
公兴上海搬场公司是经工商,税务,交通部注册的一家专业性的上海搬家公司,诚实信誉,工作细心,服务热情;为上海搬场,上海搬家的企业,如有需求,敬请垂询本搬场公司
海胜数码快印有限公司,致力于数码印刷,诚实信誉,实力雄厚,技术专业,设备先进,设计新颖,是北京数码印刷行业中新秀一支,愿做北京数码快印需求者的忠诚合作伙伴!
佳佳乐月嫂服务中心,精心提供月嫂服务,育儿嫂服务,育婴师服务,本中心月嫂,育儿嫂,育婴师,均通过健康体验,经过严格培训,持
证上岗.
华夏国际机票预定中心,全程代销各航机票
,特价机票,北京特价国际机票,留学生机票,打折机票,打折的价格,增值的服务
, 国际机票预订中心精心哈护你的远航!
星云科技,诚信于教育;研究出电子起电机,语音室,语言实验
,数字探究实验室,数字化实验室,探究实验室,系列探究实验配套设施,望广大院校前来考察!
北凝科技,废汽,余热回收,热力除氧改造,凝结水
治理专家,其推出的,定连排,烟囱余热回收器,乏汽回收,低位热力除氧器,凝结水回收器,冷凝水,
等系列产品.
北京防水堵漏公司、专业承接防水
防水堵漏地下室防水地下室堵漏北京防水北京防水堵漏北京防水公司北京防水网.防水堵漏专家! 工作心细,滴水不漏!
 北京爱福石材养护有限公司是专业从事石材翻新,石材结晶,石材护理,石材清洗,石材养护的企业,专业提供:石材翻新,石材结晶,石材清洗,石材护理,石材养护,石材无缝处理,石材防护,石材防滑,石材病症预防处理,石材修补,石材日常保养等业务.服务专线010-82922015