2009年9月27日 星期日

AM-GM 不等式的幾個證明(三)

在早前的文章中:

AM-GM 不等式的幾個證明(一)
AM-GM 不等式的幾個證明(二)

我們看過 AM-GM 不等式在 n=2 的情況時的一個「無言證明」,和一般情況的一個「反向歸納法」證明。這裡我們看一個使用一般數學歸納法的證明。

,其中所有 xi 皆是正數。正如上回所說,我們有 A1 = G1 和 A2 ≧ G2。假設 Ak ≧ Gk。以下證明 Ak+1 ≧ Gk+1:我們有





因此 AM-GM 不等式對所有正整數 n 皆成立。使用數學歸納法證明 AM-GM 不等式的技巧還有很多,甚至有些證明可以不必使用數學歸納法,我們下回再看。

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