數學資料庫手記: AM-GM 不等式的幾個證明（三）

2009年9月27日星期日

AM-GM 不等式的幾個證明（三）

在早前的文章中：

AM-GM 不等式的幾個證明（一）
AM-GM 不等式的幾個證明（二）

我們看過 AM-GM 不等式在 n=2 的情況時的一個「無言證明」，和一般情況的一個「反向歸納法」證明。這裡我們看一個使用一般數學歸納法的證明。

設 $A_n=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n$ 、 $G_n=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$ ，其中所有 x_i 皆是正數。正如上回所說，我們有 A₁ = G₁ 和 A₂ ≧ G₂。假設 A_k ≧ G_k。以下證明 A_k+1 ≧ G_k+1：我們有

$A_{k+1}\ge G_{k+1} \Leftrightarrow A_{k+1}^{k+1}\ge G_{k+1}^{k+1} \Leftrightarrow A_{k+1}^{2k}\ge A_{k+1}^{k-1}G_{k+1}^{k+1} \Leftrightarrow A_{k+1}\ge\sqrt[2k]{A_{k+1}^{k-1}G_{k+1}^{k+1}}$

而

$\begin{align*} \sqrt[2k]{A_{k+1}^{k-1}G_{k+1}^{k+1}}&=\sqrt[2k]{A_{k+1}^{k-1}x_1x_2\cdots x_{k+1}}\\ &=\sqrt{\sqrt[k]{x_1x_2\cdots x_k}\sqrt[k]{x_{k+1}A_{k+1}^{k-1}}}\\ &\le\frac12\left(\sqrt[k]{x_1x_2\cdots x_k}+\sqrt[k]{x_{k+1}A_{k+1}^{k-1}}\right)\\ &\le\frac12\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_k}k+\frac{x_{k+1}+A_{k+1}+A_{k+1}+\cdots+A_{k+1}}k \right )\\ &\le\frac1{2k}[(k+1)A_{k+1}+(k-1)A_{k+1}]\\ &=A_{k+1} \end{align*}$

因此 AM-GM 不等式對所有正整數 n 皆成立。使用數學歸納法證明 AM-GM 不等式的技巧還有很多，甚至有些證明可以不必使用數學歸納法，我們下回再看。

沒有留言:

張貼留言

數學資料庫手記

2009年9月27日星期日

AM-GM 不等式的幾個證明（三）

沒有留言:

著作人

stat

網誌存檔

數學資料庫手記

2009年9月27日 星期日

AM-GM 不等式的幾個證明（三）

沒有留言:

著作人

stat

網誌存檔

2009年9月27日星期日