2009年10月11日 星期日

AM-GM 不等式的幾個證明(五)

作為本系列的完結篇,我們看看 AM-GM 不等式的一個不用數學歸納法的證明。本證明主要用到排序不等式,此不等式指出若 ,那麼當我們把這些 ai 和 bi「配對相乘再相加」時,有以下不等式:


這裡 f(1)、f(2)、…、f(n) 是 1, 2, ..., n 的一個任意排列,而以上不等式中的三行分別叫「逆序和」、「亂序和」和「順序和」。不等式看起來有點複雜,但其實背後意念很簡單:假設一批學生分 n 組比賽(人數分別是 a1、a2、…、an),而每組均選擇 n 種隊服中的一種(價錢分別是 b1、b2、…、bn),那麼最省錢的自然是越多人的組別使用越便宜的隊服(即逆序和),最花錢的自然是越多人的組別使用越貴的隊服(即順序和)。利用排序不等式,不難證明對任意正數 y1、y2、…、yn 皆有


(不失一般性設 ,並設 ,再使用「亂序和 ≧ 逆序和」即可)。



現在我們用以上結果來證明 AM-GM 不等式。不妨設 x1x2…xn = 1(這可通過代換 得到),並設

即可得

從而證明了 AM-GM 不等式。



順帶一提,排序不等式的等號成立當且僅當 ,大家不妨試試由此導出 AM-GM 不等式的等號成立當且僅當

2 則留言:

M F 提到...

想請教一下,
在證明 (x_1)(x_2)\cdots (x_n) =1 implies x_1 + x_2 + \cdots + x_n \ge n 的時候,用了 y_i = \frac{1}{(x_1x_2\cdots x_i}

但是在使用上面亂序和的不等式時,需要 y_1 \le y_2 \le \cdots \le y_n 的,那
麼就會導致 x_i \le 1 for all i. 但是這樣就不能有 x_1x_2\cdots x_n = 1

究竟我錯了甚麼呢?請指教!謝!

Kahoo 提到...

y_1 ≦ y_2 ≦ ... ≦ y_n 只是證明 $\frac{y_1}{y_2}+\frac{y_2}{y_3}+\cdots+\frac{y_n}{y_1}$ 時所作的「不失一般性」假設,即使前者不成立,後者仍可得證(只需把 y_1, y_2, ..., y_n 重新排成遞升次序 y_f(1) ≦ y_f(2) ≦ ... ≦ y_f(n) 即可)。因此在第二部分證明 AM-GM 不等式時,並沒有 y_1 ≦ y_2 ≦ ... ≦ y_n 的假設,從而你所說的 x_i ≦1 也不成立。