這裡 f(1)、f(2)、…、f(n) 是 1, 2, ..., n 的一個任意排列，而以上不等式中的三行分別叫「逆序和」、「亂序和」和「順序和」。不等式看起來有點複雜，但其實背後意念很簡單：假設一批學生分 n 組比賽（人數分別是 a1、a2、…、an），而每組均選擇 n 種隊服中的一種（價錢分別是 b1、b2、…、bn），那麼最省錢的自然是越多人的組別使用越便宜的隊服（即逆序和），最花錢的自然是越多人的組別使用越貴的隊服（即順序和）。利用排序不等式，不難證明對任意正數 y1、y2、…、yn 皆有
（不失一般性設
現在我們用以上結果來證明 AM-GM 不等式。不妨設 x1x2…xn = 1（這可通過代換
順帶一提，排序不等式的等號成立當且僅當
2 則留言:
想請教一下，
在證明 (x_1)(x_2)\cdots (x_n) =1 implies x_1 + x_2 + \cdots + x_n \ge n 的時候，用了 y_i = \frac{1}{(x_1x_2\cdots x_i}
但是在使用上面亂序和的不等式時，需要 y_1 \le y_2 \le \cdots \le y_n 的，那
麼就會導致 x_i \le 1 for all i. 但是這樣就不能有 x_1x_2\cdots x_n = 1
究竟我錯了甚麼呢？請指教！謝！
y_1 ≦ y_2 ≦ ... ≦ y_n 只是證明 $\frac{y_1}{y_2}+\frac{y_2}{y_3}+\cdots+\frac{y_n}{y_1}$ 時所作的「不失一般性」假設，即使前者不成立，後者仍可得證（只需把 y_1, y_2, ..., y_n 重新排成遞升次序 y_f(1) ≦ y_f(2) ≦ ... ≦ y_f(n) 即可）。因此在第二部分證明 AM-GM 不等式時，並沒有 y_1 ≦ y_2 ≦ ... ≦ y_n 的假設，從而你所說的 x_i ≦1 也不成立。
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