AM-GM 不等式的幾個證明（六）

看見 Kahoo 給了 AM-GM 不等式這麼多個精彩的證明，不禁想再來一個用微分和凸函数 (convex functions) 的。

這裏我們只需留意對任意實數 x 和 a，



這不等式可以用很多不同的方法來證明，其中要想清楚當中的概念的，比較好的方法，是留意 是一凸函數，故其導數是遞增的，用中值定理即可推出上述不等式。（也可以不失一般性假設，從而用一元微積分或 的 Taylor 展開求得此不等式。）

有了這不等式以後，對正數 ，



這裏 a 可以是任何實數。把上列的不等式平均起來，得到

------(1)

取 ，則



從而 AM-GM 不等式得證。事實上不等式 (1) 的右邊是一關於 a 的函數，左邊則跟 a 無關，所以我們會取的 a 使得 (1) 的右邊達至最大值，而這正是我們上面這樣取 a 的原因。

這證明的一個好處，是我們可以用同樣的辦法證明以下這個 AM-GM 不等式的推廣：對任意 ，和任意正數 使得 ，有



從上面的討論可知，其實 AM-GM 不等式是函數 的 convexity 的反映。對任何的凸函數 f，我們都有 Jensen 不等式，詳見 wikipedia。