最近我從朋友口中得知一道有趣的組合題，其題解十分有趣。各位可以試試。
在一個 10 × 10 的方格表裏，已由上至下，由左至右順序填好 1 至 100 這 100 個整數（即第一橫行順序填好 1 至 10，第二橫行填好 11 至 20，如此類推）。現在我們用 50 個 1 × 2 的小方塊沒有重覆地蓋著這 100 個方格（縱放或橫放皆可）。蓋好後，我們將每一個小方塊蓋著的兩個數字分別乘起來，然後求這 50 個乘積的和。
問題一：這個和的最大可能值和最小可能值是甚麼？
問題二：這個和共有多少個可能值？
我找到了一個不消十五行的解答。這題解以不變量 (invariant) 為主要技巧。我會在 5 月 1 日公佈我的答案。
2009年4月26日 星期日
數學講座
日期：2009 年 4 月 28 日（星期二）
時間：下午 2 時 30 分至 5 時（活動包括講座及參觀）
地點：香港大學明華綜合大樓 T2 演講廳
講者：蕭文強教授
講題：Does Applied Mathematics Exist? -- A Lesson from Godfrey Harold Hardy
簡介：
A discussion of this issue would touch upon various aspects of science, involving deep and philosophical questions. With a far more modest aim and scope this talk looks at the issue through some episodes in the work of one mathematician of the last century, Godfrey Harold Hardy (1877-1947).
有關其他詳情，可瀏覽這裡。
時間：下午 2 時 30 分至 5 時（活動包括講座及參觀）
地點：香港大學明華綜合大樓 T2 演講廳
講者：蕭文強教授
講題：Does Applied Mathematics Exist? -- A Lesson from Godfrey Harold Hardy
簡介：
A discussion of this issue would touch upon various aspects of science, involving deep and philosophical questions. With a far more modest aim and scope this talk looks at the issue through some episodes in the work of one mathematician of the last century, Godfrey Harold Hardy (1877-1947).
有關其他詳情，可瀏覽這裡。
2009年4月24日 星期五
Context Free Grammar Exercise
雖然題目是英文，但內容是中文的。因為不知道context free grammar的中文。
雖然context free grammar是計算機理論的東西，但原理其實都是數學。以下是一條典型的習題。
以下是五個規矩：
1) S -> SS
2) S -> aSbb
3) S -> bbSa
4) S -> bSaSb
5) S -> e（即empty的意思）
玩法是這樣的。舉例說，你一開始你有一個S。
你可以用 1) 變成SS。
對第一個S你可以用 2)，可變成 aSbbS 。
對上一行的第二個S用 3) ，可變成 aSbbbbSa 。
對上一行的兩個S都用 5)，可變成 abbbba 。
還有一個規矩，就是最後生成的字串是不可以有S的存在。
讀者應該不難知道所有用這五個規矩生成的字串，b的數目是a的數目的兩倍。
但問題來了。是否所有b的數目是a的數目兩倍的字串，都可使用這五個規矩生成出來？
雖然context free grammar是計算機理論的東西，但原理其實都是數學。以下是一條典型的習題。
以下是五個規矩：
1) S -> SS
2) S -> aSbb
3) S -> bbSa
4) S -> bSaSb
5) S -> e（即empty的意思）
玩法是這樣的。舉例說，你一開始你有一個S。
你可以用 1) 變成SS。
對第一個S你可以用 2)，可變成 aSbbS 。
對上一行的第二個S用 3) ，可變成 aSbbbbSa 。
對上一行的兩個S都用 5)，可變成 abbbba 。
還有一個規矩，就是最後生成的字串是不可以有S的存在。
讀者應該不難知道所有用這五個規矩生成的字串，b的數目是a的數目的兩倍。
但問題來了。是否所有b的數目是a的數目兩倍的字串，都可使用這五個規矩生成出來？
2009年4月18日 星期六
An Exhibition about Mathematics
A few days ago I went to an exhibition called "Mathema". Below are some random pics I took at the exhibition. (Highlight the space to see the answer.)
What is the purpose of this machine?
Answer: For computing binary numbers.
Can you relate this picture to a famous parable?
Answer: "The parable of the rice grains".
What is the purpose of this machine?
Answer: The Germans used this machine for sending encrypted messages (known as the Caesar's code) during WWII. Note that the the three vertical wheels (just above the keys) will turn the keys, and they allow three degrees of freedom for doing encryption. The guide told us that the British actually broke the code during the war, as the Germans did not use the machine in a careful way. (They always begin their messages with Dear ... ==" )
Why are the above two maps different?
tance, an area r
Answer: Each of the two maps preserve a certain quantity: distance and area respectively.
These two books list out the first 4 million digits of pi!
You can "see" how the Pythagoras' Theorem works by turning the wheel!
This is what NASA sent to the space for aliens to read~
Why is this number so special?
Answer: This number is called "googol", and the name of the famous search engine "google" was inspired by it.
Along which path will a ball from the upper point reach the lower point in the least time?
Answer: Along the curve. This is the famous "Brachistochrone curve". This curve has another remarkable property: the time it takes for the ball to reach the lowest point is always the same, regardless of the starting point!
Mathematicians regard this as the most beautiful theorem in the world. This formula appears so simple but yet it involves some of the most important constants: 1, 0, e, i, pi.
What is the purpose of this machine?
Answer: For computing binary numbers.
Can you relate this picture to a famous parable?
Answer: "The parable of the rice grains".
What is the purpose of this machine?Answer: The Germans used this machine for sending encrypted messages (known as the Caesar's code) during WWII. Note that the the three vertical wheels (just above the keys) will turn the keys, and they allow three degrees of freedom for doing encryption. The guide told us that the British actually broke the code during the war, as the Germans did not use the machine in a careful way. (They always begin their messages with Dear ... ==" )
Why are the above two maps different?
tance, an area r
Answer: Each of the two maps preserve a certain quantity: distance and area respectively.
These two books list out the first 4 million digits of pi!
You can "see" how the Pythagoras' Theorem works by turning the wheel!
This is what NASA sent to the space for aliens to read~
Why is this number so special?
Answer: This number is called "googol", and the name of the famous search engine "google" was inspired by it.
Along which path will a ball from the upper point reach the lower point in the least time?
Answer: Along the curve. This is the famous "Brachistochrone curve". This curve has another remarkable property: the time it takes for the ball to reach the lowest point is always the same, regardless of the starting point!
Mathematicians regard this as the most beautiful theorem in the world. This formula appears so simple but yet it involves some of the most important constants: 1, 0, e, i, pi.
2009年4月8日 星期三
小學集體回憶系列(3) 過界
「老師，佢過界！」
到底由幾時開始，你不再理會隔鄰的同學有否「過界」？
初小時是分組上堂的，六、七張桌子貼在一起成「T」字形，謂之一組。由於小學生上課太多文具、書簿了，於是就衍生了一個問題，有時你的物品會越過桌與桌之間的邊界，佔用了同學小小的空間，謂之「過界」。
被人「過界」為甚麼要立即出聲？第一，你那小小的面積被侵犯了，基於常識科/社會科中「香港地少人多、寸金尺土」的教誨，你要維護自己的重要權益；第二，你雖然不介意空間被佔，但那同學可能想試探你是否懦弱好恰，你需要向他示威；第三，那同學是異性，你不想被傳緋聞。
當你上中學、大學，雖然還是有跟同學一起坐的機會，但你實在不太在意他們有否過界。因為你已經明白，那張桌子其實不是你的。由桌子到學校、社會、世界，你只是它們的過客，你對它們既無「主權」，也無「歸屬感」可言。世故而老練的你，知道成年人反正是彼此利用，於是你不介意被人「過界」了。
如果你曾向老師投訴同學「過界」，那你當年也是一個天真無邪的小孩子。
到底由幾時開始，你不再理會隔鄰的同學有否「過界」？
初小時是分組上堂的，六、七張桌子貼在一起成「T」字形，謂之一組。由於小學生上課太多文具、書簿了，於是就衍生了一個問題，有時你的物品會越過桌與桌之間的邊界，佔用了同學小小的空間，謂之「過界」。
被人「過界」為甚麼要立即出聲？第一，你那小小的面積被侵犯了，基於常識科/社會科中「香港地少人多、寸金尺土」的教誨，你要維護自己的重要權益；第二，你雖然不介意空間被佔，但那同學可能想試探你是否懦弱好恰，你需要向他示威；第三，那同學是異性，你不想被傳緋聞。
當你上中學、大學，雖然還是有跟同學一起坐的機會，但你實在不太在意他們有否過界。因為你已經明白，那張桌子其實不是你的。由桌子到學校、社會、世界，你只是它們的過客，你對它們既無「主權」，也無「歸屬感」可言。世故而老練的你，知道成年人反正是彼此利用，於是你不介意被人「過界」了。
如果你曾向老師投訴同學「過界」，那你當年也是一個天真無邪的小孩子。
2009年3月30日 星期一
小學集體回憶系列(2) 帶分數
上個學期我改科大MATH202 (Introduction to Real Analysis) 的考試，最大得著是發現了兩件事：第一，原來很多學生不懂factorize 1- x^3；第二，原來有人還在用帶分數表示數值。
大家回想一下，你學分數時只是小三，當時老師是以切薄餅來解釋的。到了下學期，你終於儲夠錢買超過一個薄餅，於是老師便教你「帶分數」和「假分數」，而之前的分數被喚作「真分數」。
這不是很神奇嗎？少過一塊薄餅，怎樣切都是「真」的；超過一塊薄餅，你把它切開後，它就會成為「假」；當你保留完整的薄餅，再併上那些加埋不足一塊的剩餘物資，那就叫「帶」。那麼，這個「帶」，它就包含了完整與真實，但你把它重組，就會發現它虛假的本質。
但，做這樣的區別有意義嗎？當你上到中學、大學後，分數線上下的，都是甚麼 x-1 啊、e^x 的代數，你不知道她們實際上是甚麼數值，只知道她們的善變，於是真真假假，從此變得面目模糊。你小時候堅信那誓不兩立的真分數和假分數，已經分不開了。
唯獨帶分數這狡徒，他是真與假之間的賢者。你以為他已經棄世隱居了？不，在真假已沒有界線的塵世裡，他是一位入世的大隱士。當你要integrate (x+1)/(x-1) 時，他會告訴你：其實可以先化作 1 + 2/(x-1) 。嗟？豈非似曾相識？
大家回想一下，你學分數時只是小三，當時老師是以切薄餅來解釋的。到了下學期，你終於儲夠錢買超過一個薄餅，於是老師便教你「帶分數」和「假分數」，而之前的分數被喚作「真分數」。
這不是很神奇嗎？少過一塊薄餅，怎樣切都是「真」的；超過一塊薄餅，你把它切開後，它就會成為「假」；當你保留完整的薄餅，再併上那些加埋不足一塊的剩餘物資，那就叫「帶」。那麼，這個「帶」，它就包含了完整與真實，但你把它重組，就會發現它虛假的本質。
但，做這樣的區別有意義嗎？當你上到中學、大學後，分數線上下的，都是甚麼 x-1 啊、e^x 的代數，你不知道她們實際上是甚麼數值，只知道她們的善變，於是真真假假，從此變得面目模糊。你小時候堅信那誓不兩立的真分數和假分數，已經分不開了。
唯獨帶分數這狡徒，他是真與假之間的賢者。你以為他已經棄世隱居了？不，在真假已沒有界線的塵世裡，他是一位入世的大隱士。當你要integrate (x+1)/(x-1) 時，他會告訴你：其實可以先化作 1 + 2/(x-1) 。嗟？豈非似曾相識？
2009年3月29日 星期日
小學集體回憶系列(1) 除號
各位大朋友，請問你上一次用除號是幾時的事？
除法，小二已經學到。除號，大家在小學時寫過千百次。
但你上到中學、大學後，基本上你是不會用除號的。反正把所有數都視為分數相乘，一條長得離譜的分數線就可以取代除號，就像日出時的地平線，上天下地一目了然，省卻了除號製造的混亂。
年紀跟我相約的朋友，上中學的年代正值電腦走入家庭。在鍵盤上除號更是無一席位，取而代之的是一個斜體的分數線" / "。當你要用電腦來打數式時，也會用equation editor附設的分數功能，而不會去找那個沒有歸宿的除號。
其實即使使用分數，乘號和" ... "都有其他用處。乘號在AL或大學可以表示cross multiplication，又或者，在每集的《全職獵人》開頭你會看到「乜乜X乜乜X乜乜」的標題，海報上也有「港樂X李克勤」的標題，就算是電玩也會有"藥水 X 3"、"手榴彈 X 5"的顯示。
至於代表餘數的" ... "，用途更厲害，只要你有用電腦同人溝通，無論是forum還是MSN，都一定會有" ... "。或者有點本末倒置，其實代表餘數只是她的兼職，她本來是一個沈默又猶豫的省略號。
除號是一位哀怨的宮娥，你曾經常常見到她，但你還未認識她，就已把她遺忘。
除法，小二已經學到。除號，大家在小學時寫過千百次。
但你上到中學、大學後，基本上你是不會用除號的。反正把所有數都視為分數相乘，一條長得離譜的分數線就可以取代除號，就像日出時的地平線，上天下地一目了然，省卻了除號製造的混亂。
年紀跟我相約的朋友，上中學的年代正值電腦走入家庭。在鍵盤上除號更是無一席位，取而代之的是一個斜體的分數線" / "。當你要用電腦來打數式時，也會用equation editor附設的分數功能，而不會去找那個沒有歸宿的除號。
其實即使使用分數，乘號和" ... "都有其他用處。乘號在AL或大學可以表示cross multiplication，又或者，在每集的《全職獵人》開頭你會看到「乜乜X乜乜X乜乜」的標題，海報上也有「港樂X李克勤」的標題，就算是電玩也會有"藥水 X 3"、"手榴彈 X 5"的顯示。
至於代表餘數的" ... "，用途更厲害，只要你有用電腦同人溝通，無論是forum還是MSN，都一定會有" ... "。或者有點本末倒置，其實代表餘數只是她的兼職，她本來是一個沈默又猶豫的省略號。
除號是一位哀怨的宮娥，你曾經常常見到她，但你還未認識她，就已把她遺忘。
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