造馬

歐聯八強抽籤結果鬧出造馬疑雲（可參考這篇報導），有網友「未卜先知」，在抽籤前個多小時先行公佈「內定抽籤結果」（阿仙奴對利物浦、曼聯對羅馬、車路士對費倫巴治、巴塞隆拿對史浩克 04），最終竟與真正的結果不謀而合。歐洲足協否認造馬指控，指有關事件純屬巧合。以上報導中指猜中抽籤結果的機會是 28 分之 1（There is a one in 28 chance of correctly guessing the Champions League draw at this stage.），可是那是不正確的。

如何計算 8 隊分成 4 對的可能性數目呢？其中一個方法是先抽 2 隊成對，共有 C(8,2) = 28 種可能；然後從餘下 6 隊中再抽兩隊成對，有 15 種可能；再從餘下 4 隊中抽兩隊成對，有 6 種可能；最後剩下的 2 隊成對。這樣便有 28 x 15 x 6 = 2520 個可能，但由於 4 對的次序不拘，因此每種抽籤結果我們都數了 4! = 24 次，從而抽籤結果只有 2520/24 = 105 個不同的可能。換句話說，猜中抽籤結果的機會應是 105 分之 1。

另一種數算的方法是先隨便選一隊（例如是英文字母序最先的一隊），然後選那隊的對手，這樣有 7 個可能；然後從餘下 6 隊中再選英文字母序最先的一隊，那麼這隊的對手便有 5 個可能；再之後餘下 4 隊中英文字母序最先的一隊的對手有 3 個可能；最後剩下的 2 隊對賽。由此可見，抽籤結果共有 7 x 5 x 3 = 105 個不同的可能。

從第二種方法可知，把 2n 隊分成 n 對對賽的方法共有

1 x 3 x 5 x ... x (2n-1) = (2n-1)!! 種

這裡 k!! 是個「double factorial number」（見註）。而比較兩種數算方法，我們亦可得到等式

C(2,2) x C(4,2) x ... x C(2n,2) = n! (2n-1)!!

這種「算兩次（double counting）」的方法在組合數學裡是很常用的，可以證明很多奇妙的等式或不等式。

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註：有關「double factorial」的資料，可參考這裡。如果只考慮奇數的 double factorial，即 1!!, 3!!, 5!!, ...，也就是把 2n 人分成 n 對的方法數目，也可參考 The Online Encyclopedia of Integer Sequences 的 A001147。順帶一提，這個「百科全書」很有用，大家可以輸入一串整數（例如：1, 1, 2, 3, 5, 8），然後系統便會搜尋包含這些連續項的數列。