數學資料庫手記: 循環論證 (I) --- 圓周公式

2008年3月17日星期一

這是 ami 第一篇在手記放的貼子，題目早於一個月前決定，今天比較空閒終於有機會貼上來。

在教會教一班中學生數學時，其中有一人 X 問道以下一道問題：

X : 給出一個圓形，圓周為 $r$ ，圓面積的公式 $\pi r^2$ 能夠運用積分的方法來證明。

X : 那麼，請問圓形的圓周 $2\pi r$ 可否運用類近的積分算式去「證明」呢？

附註：

X 提問時，特別強調證明一詞。

對 $\pi$ 定義熟悉的讀者，應該明白背後的原因吧。

與此同時，有另一位曾經修讀純數的人給出以下證明：

設 $L$ 為給出圓形的圓周，設圓的圓心為 $\left(0,0\right)$ ，所以圓的方程為 $x^2+y^2=r^2$ 。

Let $L$ be the circumference of the given circle, suppose the circle center at origin, so the equation of circle is $x^2+y^2=r^2$ .

考慮圓形在第一象限：

Consider the first quadrant:

$y=\sqrt{r^2-x^2}$

由弧長公式及對稱性可知：

By arc length integral and symmetry:

$L=4\int_{0}^{r}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$

約簡後得出:

After simplification :

$L=4r\int_{0}^{r}\frac{1}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx$

所以

Therefore :

$L=4r\left[\sin^{-1}\frac{x}{r}\right]_{0}^{r}=4r\left[\frac{\pi}{2}-0\right]=2\pi r$

究竟在「證明」中有什麼錯誤呢？

由於時間所限，留待下一篇才解答吧。

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