循環論證 (II) : 圓周公式

Continue from 循環論證 (I) : 圓周公式

---

There should be no controversy before the integral arises,

let's verify each steps carefully starting from the arc length.

The arc length formula itself is correct.

Its proof is based on Mean Value Theorem and Riemann Sum.

Here, what we need to verify is the differentiability of on the interval and the continuity on .

Both of them are clear except the continuity at the end-point 0.

But, since we are considering the first quadrant only, the existence of one hand limit is enough.

For the symmetry part, there should be no problem.

{If you really think about it, just consider the properties of the odd function and even function}

Afterwards, the simplification of integral is obviously correct.

Then, we investigate the computation of integral.

As I mentioned in the first part, there must be a flaw in the proof, so the flaw should arise in the computation part.

Before we proceed, let's recall the following high-school definitions:

is defined as the common ratio of circumference to diameter of any circle.

Radian is defined as the ratio of arc length to the radius of a circle, in particular, it is the arc length of the unit circle.

is defined as the point lying on the unit circle making an angle (in radian) with the x-axis.

is then defined as the inverse mapping on the right half of the unit circle

Let's consider the second equation first, as this is easier to explain.

Here, we use the common sense that and , but why!?

somehow we know

(we must rely on the fact that is the ratio)

So, we found that the second one contains flaw.

However, this does not mean that the first one contains no circular reasoning.
For those who knows a little bit of analysis,

For the first equation, we used Fundamental theorem of Calculus, which itself require the function to be integrable, being the inverse function of , it is continuous, and hence integrable.

To show that is a continuous function, from epsilon-delta definition, the inequality must be involved, which is often proved using geometric argument

The Game Theory in Batman

The following is an article from Mingpao, which analyses the recent Batman movie with game theory.

昆明小丑˙曾特首與《蝙蝠俠》博弈論 2008年7月28日

【咫尺地球】奧運前夕昆明巴士連環爆炸，手法似仿效前期蓋達，卻又不像國際組織所為。真正專業的，要麼在遙遠的省份輪番襲擊，要麼在同一地方真正real-time放炸彈，似不會產生1小時真空。假如策劃者不具備規模，卻希望製造恐慌來誘惑國內同道中人仿效，也就是在設計一場博弈。這教人想起上映中的《蝙蝠俠黑夜之神》的天才罪犯「小丑」。

這電影好評如潮，但不少觀眾忽視了劇本的社會科學理論，簡化了最終一幕的含義，也不留神居安思危的關連。電影講述小丑在兩艘載滿疏散乘客的渡輪埋下炸藥，其中一艘載着囚犯，另一艘載着社會賢達。小丑把引爆炸藥的遙控器交予雙方，聲稱這是引爆對船的機器，警告必須有一船炸毁，又說假如半小時後兩船都不按鈕，他就自行按，希望證明人性醜惡。這是博弈論「囚徒博弈」(Prisoner's Dilemma)的變種﹕雙方都不知對方行動，也就是在信息不公開下博弈。假如他們以1為生存或有利，0為死亡或無利，兩船乘客的選擇，理應都是在對方按鈕前先按(見局1)。

到最後，雙方都沒有按，不少觀眾認為這代表「人性光輝」。但其實賢達船以民主法則(投票)為機制，已以2/3多數通過按鈕；囚犯船以叢林法則為機制，也出現了惡囚徒將自行搶去遙控的局面。換言之小丑對人性的計算，原來並沒有錯。問題是，為何乘客相信手中的遙控真的炸掉對船而非自己的船？

民主法則Vs.叢林法則

小丑的「權威」建立在對原制度的顛覆；兩批乘客上船，就是因為小丑警告炸掉大橋，政府才安排市民坐船逃走。加上劇情交代，小丑之前逼蝙蝠俠拯救好友與前女友其一，最終死去的卻還是要救的人。兩船乘客身在危機，正是源自小丑破壞規則，因此必然有人相信，按鈕其實是炸掉自己的船，因那樣更能達到反諷人性的效果(見局2)。

可是此一陰謀推論，在民主機制難以迅速有共識，因此賢達船以民主方式決定不按鈕的機會甚少。囚犯船領袖則較懂犯罪心理，說同船的人不懂怎樣求生，相信自己不按鈕、對方按鈕，才有生存希望，於是通過叢林法則搶去遙控器拋下海；假如他的計算精準，賢達船就會爆炸。但問題又出現了，因為另一船的民主法則有定論後，卻無人執行按鈕決定。重視虛名的社會賢達希望既能生存、又不染血，多了一重考慮。於是在局3，我們回到賢達船內個人層面的博弈，假定每一個「我」都同樣追求生命(1)與名聲(1)(即共2分)，他們都想在通牒屆滿時，有另一人搶出來按鈕，自己毋須行動。結果是通牒屆滿卻沒人出來按。


上述計算可出現大量其他方程再加修補，但無論如何，小丑計算錯誤，基本在於(1)他的信息公信力被叢林法則勝利者質疑；(2)民主法則的執行力並非完美，個人博弈計算影響了集體決定；(3)世上有改變棋局的蝙蝠俠，否則小丑依然可引爆一船。關於引用博弈論解釋《蝙蝠俠》，英國學術博客Michael A. Allen有詳細文章，立論和本文頗不同，認為不少乘客重視道德高於生命，也沒有分辨叢林和民主法則，但論證過程嚴謹，值得討論。

昆明爆炸 策動者設博弈局

說回昆明爆炸，策劃者明顯也要設局，但並非直接和政府博弈，不止希望中國烽煙四起，更要鼓舞各地對政權不滿的人行動，從而為中國在國際組織外，增加新的本土博弈對手，包括在香港；這些新對手不但要和中央博弈，也要和地方領袖博弈。試想在正常氣氛，要是香港發生銀行炸彈劫案，社會不會驚訝；但在奧運馬術舉行期間，任何異樣，包括疆獨示威和詐彈恐嚇，都會被算作政府保護奧運不力。9/11後曾出現自稱「香港拉登」的人聲稱在超市下毒，全沒效果；但在未來1月，對民望一瀉千里的政府，一切都可以顯得有違「辦好馬術」的重託，哪怕只是在人山人海但保安兒戲的書展，發現在《國際政治夢工場II》旁，出現疑似恐怖分子。好了，假如小丑襲港，特首會怎樣？

中文大學亞太研究所研究助理教授 沈旭暉

平方根的疑惑

　　平方根這個概念看似簡單，可是很多中學生都無法清楚了解它。以下是兩個最常見的問題：

一、3 是 9 的平方根嗎？那麼 -3 又是否 9 的平方根？
二、 是甚麼？是 3，還是 ±3？

　　它們的答案都可以由定義直接回答。

　　平方根的定義：若某數 x 和 y 符合 x² = y，我們稱 x 為 y 的平方根。因為 3² = (-3)² = 9，所以 3 和 -3 都是 9 的平方根。那麼 是甚麼？原來這是 x 的非負平方根。我們不難證明任何不小於 0 的實數都剛好有一個非負平方根。換言之，當 x 不是負數時， 只有一個值。由此可知， 的值是 3。

立法會選舉

今年立法會選舉的提名期於今天展開。大家有否留意立法會選舉和去年的區議會選舉的選舉制度很不同呢？簡單來說，去年區議會選舉中，大家是投票給其中一名候選人的，可是在立法會選舉（的地區直選）中，大家卻是投票給一組候選人的。以九龍東選區為例，今天就有三組候選人報了名：

• 李華明、計明華、黃啟明、黃偉達
• 胡志偉
• 陳鑑林、黎榮浩、陳曼琪、洪錦鉉

每張名單的人數最少是 1 人，最多則是該區的議席數目（九龍東選區是 4 席）。每名選民可投票給其中一張名單，然後各名單將按得票比例分配該區的議席。這種選舉方法叫「比例代表制」。正如去年的這篇文章提到，比例代表制可以改善單議席單票制（即區議會選舉的制度）的一些缺點，但它本身亦存在不少弊端。大家不妨參考一下以下兩篇數學資料庫的文章：

• 《比例代表制是甚麼？》
• 《續比例代表制 — 2004年立法會選舉的啟示》

來自其他地區的朋友，也可以分享一下你們所在地的選舉制度，並作出比較。

拓撲學(一)

相信拓撲學對一般中學生來說，是比較陌生的科目。因為中學數學課程裏面，只有代數，微積分，幾何，概率論，統計學等科目。而且拓撲學(topology)這個名詞確實撲朔迷離，全完不能從名字裏面猜出其意思。但這亦不代表中學生完全沒有接觸過拓撲學的某些基本概念。例如：
1) V – E + F = 2 這條公式，應該在小學或初中的數學課本出現過。如果你數出以下圖案的角(vertex)的總數V，邊(edge)的總數E及面(face)的總數F，再計算它們V – E + F 的值，答案永遠是2。

2) 一個拓撲學學者不懂得分辨一個甜圈(冬甩，doughnut)及一隻(有手抦的)咖啡杯。原因是，它們都共同有一個孔。

那拓撲學究竟是甚麼？

拓撲學跟幾何一樣，用作了解任何幾何物體的特性。但幾何學著重的是，一件幾何物體的面積是甚麼？兩點之間的距離是多少？兩條線之間的角度是多少？相反，拓撲學著重的是，這件物體有多少孔？我能否把一把泥膠從一個形狀「搓」成另一種形狀？(注意，就像上面咖啡杯的動畫一樣，我們不可以把泥膠黏起來，即不能把手抦上的泥膠硬黏上杯上，同時也不能把泥膠的任何部分撕開。)

注意，在「搓」的過程中，物體的表面面積明顯地改變了；而如果我們在泥膠上點上兩點，兩點間的距離會改變；同樣，如果我們在泥膠上畫上兩條相交線，兩條線間的角度也會改變。所以，以數學術語說，幾何學所研究的是物體局部(local)的特性，而拓撲學研究的則是物體宏觀(global)的特性。

上面例子 (1) 正是拓撲學的最佳例子。相信大家都不難想像怎樣把一塊泥膠，從正四邊形，「搓」成正六邊形，再「搓」成正八邊形，再「搓」成正十二邊形，再「搓」成正二十邊形，最後把它「搓」回正四邊形。所以在拓撲學上來說，這些形狀是等同的(homeomorphic)。最誘人的特點是，這些圖形V – E + F 的值，同樣是2。這種特點，在近三百年前已被數學家歐拉(Leonhard Euler)所發現。

如果你發現了這種特點，你會說這只是巧合，之後繼續打機逛街唱K拍拖，還是會去進一步研究當中的原因？是否任何拓撲學上等同的東西，V – E + F 也永遠等於2？

"Generalize"的雜談（二）

第二、三篇關於"Generalize"的雜談主要說我最近遇到關於generalization的事。

前一期Mathematical Excalibur的problem corner有一條問題，中譯是這樣的：

有一個邊長為 n 的正方形（n為正整數），在其中一個角，有一個邊長為1的正方形被剪走。若餘下的圖形可以被分成 k 個面積一樣的三角形，求 k 的最小值。

這一題的正確答案已刊於最新一期的Mathematical Excalibur內，有興趣者可以到這裏參考。當時見到這條題目時，不知怎地看錯了題目，於是變成一條頗難的題目：

有一個邊長為 n 的正方形（n為正整數），在其中一個角，有一個邊長為1的正方形被剪走。若餘下的圖形可以被分成若干個面積為 k （k為正整數）的三角形，求 k 的最小值。

糊裏糊塗地我將題目generalize成另一條問題。若 n 是單數時，這條題目還很簡單。若 n 是雙數時，這條題目就不容易了。