投票選冠軍的概率問題－－錯處在哪？（上）

　　電視遊戲和比賽常常講求互動，讓觀眾也參與其中，增加投入感。讓觀眾投票選出比賽得勝者是其中一種常見的互動方法。為了吸引更多觀眾參與，主辦機構會在選中優勝者的參賽者當中，抽出若干幸運兒獲獎。

　　現假設某比賽只有兩名參賽者，共有 1001 名觀眾投了票選冠軍（票數較多者勝）。主辦機構會抽出一位選中冠軍的觀眾獲得獎品。其中一位觀眾想用概率的知識計算他獲獎的機會。他假設所有人投票都是隨機的，然後這樣想：

　　「因為所有人都隨機投票，所以兩名參賽者得冠軍的概率相等，皆為 （注意這裏沒可能平局）。假如我選中冠軍，便可參加抽獎。明顯地，冠軍的得票不少於 501 票（ = 500.5），因此我被抽中的機會不多於 。由此可知，我選中冠軍而又被抽中的概率不多於 。」

　　整個投票過程裏，每位觀眾的角色都是對稱的。因此這 1001 位觀眾當中任何一位獲獎的機會皆不多於 。由此可知，他們當中有人獲獎的機會不多於 。咦，為甚麼這些概率加起來比 1 小？他們當中不是總有一人會得獎嗎？消失了的 概率逃到哪裏去？

　　現在先讓各位思考和討論，下星期六解題。提示是先考慮小的情況（如 3 人投票），以及將上述各事件寫清楚。還有，問題不在假設了各人隨機投票。

MD Academic Seminar

MD 今個星期日有 Academic Seminar:

日期：2008 年 8 月 31 日（星期日）
時間：下午 5 時至 6 時
地點：香港中文大學邵逸夫夫人樓（Lady Shaw Building）C1（見註）
語言：粵語輔以英語

註：從港鐵大學站（中文大學出口）轉右，可乘坐中文大學校巴於第二個站（潤昌堂）下車，步行約兩分鐘即可抵達邵逸夫夫人樓。星期日的校巴於每小時 00、20、40 分在大學站開出，車程約 5 分鐘。

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Topic: Matrix and Transformations
Speaker: Jessey Lin (undergraduate student at CUHK)

Abstract:
For those of you who are of first encounter with the matrix mathematically, you will get a glimpse of how this 'creature' is added, subtracted or multiplied. For those of you who are all too familiar with the matrix and its operations, it might be a good chance to refresh your memories of representing reflections, the principal axis theorem, and other geometric transformations which are often used in other branches of geometry. Welcome to all!

也談一談重排

剛剛看了johnmayhk寫的關於重排（Part 1、Part 2、Part 3）的文章，碰巧最近看probability theory時也遇到一個關於重排的小問題，在這裏說說。

在probability theory裏有一個結果是這樣的（這些還是用英文寫比較好…… ）：

If X, Y are independent random variables and discrete,



Range of X是countable的。若重排後計算出來的並不一樣，在數學上是不容許的。

要解決這個問題，可以用Dirichlet Rearrangement Theorem：

If and converges absolutely, then every rearrangement converges to the same sum.

因為是absolutely convergent的（怎樣證明？這個作為大學的分析課考試的一條基本題還挺不錯的），所以不論怎樣把它重排，它的極限值都是唯一的。


P.S.1：（這裏不想解釋independent, random variable, discrete, converges absolutely, rearrangement等用語；有興趣者自行查wiki吧！）

P.S.2：最後中國在奧運奪得 51金。

奧運無聊篇

和同一office的人一起看跳床決賽。我還以為Wii腦作。原來奧運真的有跳床比賽的。

數學人見到數字就總有點reflexive behaviour。無聊，有兩個選手跳完了，我和另一個人就猜她們的分數。猜了兩次，兩次真正的分數竟然都是我們猜的平均數。

後來又無聊，猜今屆中國的金牌數目。他猜46，我猜48。看來，真正的中國金牌數字很可能是……

擁有十億元的窮人（下）

注意：請先看畢本文的第一部分，並想過當中的邏輯問題才看這篇文章。

　　星期六提出的證明指出擁有十億元的人是窮人。我們先重溫當中的推論：

（一）擁有 0 元的是窮人。
（二）假如某人是窮人，他的財產增加 1 元，他仍是窮人。
（三）由數學歸納法可知，財產是任何正整數（以元計算）的人都是窮人。換言之，擁有十億元的人是窮人。

　　上述的推論問題在哪？試想想上述的問題的另一個版本：假如現在有一堆人，他們擁有的金錢各不相同，分別是 0 元、1 元、2 元、3 元……、十億元。你可以把他們分為「窮人」和「不是窮人」兩類人嗎？明顯地，0 元和十億元的人分屬兩堆。可是任誰憑他的生活經驗，都不容易決定這兩類人的分界線。例如，假設有人認為擁有 100 元或以下是窮人，100 元以上的不是。總有人會質疑為何 100 元和 101 元的少許區別足以把他們分成兩類。事實上，無論你將分界線設在零和十億之間任何的值，相同的質疑依然存在。

　　原來這種質疑來自我們對貧富的觀念：貧富不是絕對的概念，而是模糊的。換個方法來說，貧富根本不存在明確的界線，而是有程度之別，例如「非常貧窮」、「頗貧窮」、「很富有」、「非常富有」等。這在數學裏稱為「模糊邏輯」(fuzzy logic)，與只有「是」與「不是」的布爾邏輯 (Boolean logic) 相對。在模糊邏輯裏，所有概念都以某個 0 和 1 之間的值表示，稱為真實度 (degree of truth)。以上述的例子而言，我們可以設擁有 0 元時「富有值」為 0，擁有十億元或以上時「富有值」為 1，兩者之間的值則以線性函數計算，數字愈大代表愈富有。如是者，擁有一億元的人是 0.1 富有，擁有一千萬元的人是 0.01 富有。天氣冷熱、人的高矮、聲音大小等都可以這樣表示。

　　那麼上文的歸納論證錯了甚麼？原來當中的歸納假設「假如某人是窮人，他的財產增加 1 元，他仍是窮人」並不正確。我們假設了「窮」這種概念是絕對的概念，與日常的想法相違。因此，我們不可以這樣推論。

奇怪的賽制

上週三和上週六香港有四隊奧運隊進行了四場比賽，並計分以得出冠亞季軍。一般來說，四隊球隊打單循環，應該有₄C₂=6場比賽才對。但因為當中有兩隊在奧運足球賽第一輪被編在同一組，所以不安排這兩隊在香港對賽。結果每隊只打兩場。

這兩天天氣酷熱（星期六稍稍涼一點），但見很多球員有心無力，連起跑也慢了起來。大概賽會也估計到這個情況，所以計分方法有點獨特，以鼓勵球隊多進攻和爭取入球。

上週三我們聽主持講，計分方法是這樣的：勝出得3分，賽和兩隊各得1分，而負方得0分；而球隊每入一球則可另加1分。週三的賽事後，同行有兩個人，都不是讀數學的，但竟然無端端計起數來。計甚麼呢？

這個賽制有一個奇怪的地方：有可能球隊連敗兩場卻得到冠軍；但連勝兩場的卻會包尾！如：

A 5 - 6 B
A 5 - 6 C
B 0 - 1 D
C 0 - 1 D

這樣的話，A得10分，B和C各得9分，而D得8分。連敗兩場的A得冠軍，連勝兩場的D包尾。（註：在現場睇波時聽到某名觀眾講入球加分是要勝出賽事後才有；但後來證實了和波亦有入球加分，但仍無法證實輸波有否入球加分。若各位有關於賽制的確切資料，歡迎提供。）

思考題：已知四隊中某隊連敗兩場卻得到冠軍。問它在兩場賽事中最少入了多少球呢？

擁有十億元的窮人（上）

　　擁有十億港元的人算是窮人嗎？很多人都會搖頭不同意。可是以下的推論卻會推出相反的結果！

　　首先，所有人都認為身無分文的人是窮人。另外，假如某人是窮人，多給他 1 元會令他脫貧嗎？不會。由此可知，擁有 1 元財產的人仍是窮人。那麼如果再多給他 1 元呢？當然也不會。因此，身家達 2 元的人也是窮人。相似地，即使他的財產再增至 3 元亦徒然。原因同樣是 1 元之差無法讓窮人脫離窮人之列。以數學歸納法的原則可知，財產達 4 元、5 元、6 元……等的人都是窮人。換言之，坐擁十億元的人亦是窮人。

　　上述的結論和我們的直觀概念相悖。當中的推導過程錯了甚麼？三天後（星期二）揭曉。

〔文章下半部分在此：擁有十億元的窮人（下）〕