2008年8月16日 星期六

擁有十億元的窮人(下)

注意:請先看畢本文的第一部分,並想過當中的邏輯問題才看這篇文章。

  星期六提出的證明指出擁有十億元的人是窮人。我們先重溫當中的推論:

(一)擁有 0 元的是窮人。
(二)假如某人是窮人,他的財產增加 1 元,他仍是窮人。
(三)由數學歸納法可知,財產是任何正整數(以元計算)的人都是窮人。換言之,擁有十億元的人是窮人。

  上述的推論問題在哪?試想想上述的問題的另一個版本:假如現在有一堆人,他們擁有的金錢各不相同,分別是 0 元、1 元、2 元、3 元……、十億元。你可以把他們分為「窮人」和「不是窮人」兩類人嗎?明顯地,0 元和十億元的人分屬兩堆。可是任誰憑他的生活經驗,都不容易決定這兩類人的分界線。例如,假設有人認為擁有 100 元或以下是窮人,100 元以上的不是。總有人會質疑為何 100 元和 101 元的少許區別足以把他們分成兩類。事實上,無論你將分界線設在零和十億之間任何的值,相同的質疑依然存在。

  原來這種質疑來自我們對貧富的觀念:貧富不是絕對的概念,而是模糊的。換個方法來說,貧富根本不存在明確的界線,而是有程度之別,例如「非常貧窮」、「頗貧窮」、「很富有」、「非常富有」等。這在數學裏稱為「模糊邏輯」(fuzzy logic),與只有「是」與「不是」的布爾邏輯 (Boolean logic) 相對。在模糊邏輯裏,所有概念都以某個 0 和 1 之間的值表示,稱為真實度 (degree of truth)。以上述的例子而言,我們可以設擁有 0 元時「富有值」為 0,擁有十億元或以上時「富有值」為 1,兩者之間的值則以線性函數計算,數字愈大代表愈富有。如是者,擁有一億元的人是 0.1 富有,擁有一千萬元的人是 0.01 富有。天氣冷熱、人的高矮、聲音大小等都可以這樣表示。

  那麼上文的歸納論證錯了甚麼?原來當中的歸納假設「假如某人是窮人,他的財產增加 1 元,他仍是窮人」並不正確。我們假設了「窮」這種概念是絕對的概念,與日常的想法相違。因此,我們不可以這樣推論。

沒有留言: