擁有十億元的窮人（下）

注意：請先看畢本文的第一部分，並想過當中的邏輯問題才看這篇文章。

　　星期六提出的證明指出擁有十億元的人是窮人。我們先重溫當中的推論：

（一）擁有 0 元的是窮人。
（二）假如某人是窮人，他的財產增加 1 元，他仍是窮人。
（三）由數學歸納法可知，財產是任何正整數（以元計算）的人都是窮人。換言之，擁有十億元的人是窮人。

　　上述的推論問題在哪？試想想上述的問題的另一個版本：假如現在有一堆人，他們擁有的金錢各不相同，分別是 0 元、1 元、2 元、3 元……、十億元。你可以把他們分為「窮人」和「不是窮人」兩類人嗎？明顯地，0 元和十億元的人分屬兩堆。可是任誰憑他的生活經驗，都不容易決定這兩類人的分界線。例如，假設有人認為擁有 100 元或以下是窮人，100 元以上的不是。總有人會質疑為何 100 元和 101 元的少許區別足以把他們分成兩類。事實上，無論你將分界線設在零和十億之間任何的值，相同的質疑依然存在。

　　原來這種質疑來自我們對貧富的觀念：貧富不是絕對的概念，而是模糊的。換個方法來說，貧富根本不存在明確的界線，而是有程度之別，例如「非常貧窮」、「頗貧窮」、「很富有」、「非常富有」等。這在數學裏稱為「模糊邏輯」(fuzzy logic)，與只有「是」與「不是」的布爾邏輯 (Boolean logic) 相對。在模糊邏輯裏，所有概念都以某個 0 和 1 之間的值表示，稱為真實度 (degree of truth)。以上述的例子而言，我們可以設擁有 0 元時「富有值」為 0，擁有十億元或以上時「富有值」為 1，兩者之間的值則以線性函數計算，數字愈大代表愈富有。如是者，擁有一億元的人是 0.1 富有，擁有一千萬元的人是 0.01 富有。天氣冷熱、人的高矮、聲音大小等都可以這樣表示。

　　那麼上文的歸納論證錯了甚麼？原來當中的歸納假設「假如某人是窮人，他的財產增加 1 元，他仍是窮人」並不正確。我們假設了「窮」這種概念是絕對的概念，與日常的想法相違。因此，我們不可以這樣推論。