偏序集（Partially ordered sets）

現時，香港政府的架構以「三司十二局」為骨幹，每個決策局均設一名局長和一名常任秘書長，之下再設副秘書長和助理秘書長多名，再之下還設有更多職級。基本上，這些「高級」的職位有著緊密的從屬關係：局長是常任秘書長的直屬上司、常任秘書長是副秘書長的直屬上司、副秘書長是助理秘書長的直屬上司。這就好像是數學上的全序集（totally ordered sets）-- 集合裏任何兩個元素都可以比較大小。

今天，政府公佈擴闊政治委任制的建議，在局長下增設副局長和政治助理，兩者與常任秘書長之間沒有從屬關係（詳見 http://www.news.gov.hk/tc/category/administration/071017/html/071017tc01006.htm）。這就「破壞」了之前提及的全序集，因為常任秘書長和副局長兩者的職級不能比較高低。數學上，這是一個偏序集（partially ordered set）-- 集合中有些元素可以比較大小，但亦有可能有些不能比較（incomparable -- 注意讀音）的元素。

偏序集的「大小關係」（通常以「≥」表示）需滿足以下三個條件：

(1) 對偏序集中的任意元素 x，皆有 x ≥ x。
(2) 若 x ≥ y 且 y ≥ x，則 x = y。
(3) 若 x ≥ y 且 y ≥ z，則 x ≥ z。

全序集則需同時滿足「對偏序集中的任意元素 x 和 y，皆有 x ≥ y 或 y ≥ x」，即「任何兩個元素都可以比較大小」。全序集的例子很多，如實數集、所有英文字的集合（以字母順序比較大小）等。

有沒有些不是全序集的偏序集呢？也有很多，例如，若 S 是有兩個或以上的元素的集合，P(S) 為 S 的冪集（power set），即 S 的所有子集（subsets）的集合，並對 P(S) 中的元素 X、Y 定義 Y ≥ X 當且僅當 X 是 Y 的子集，那麼 P(S) 便是偏序集，然而它是不全序集。（例如：若 S = {1,2}，那麼 P(S) = {Φ, {1}. {2}. {1,2}}，其中 {1, 2} ≥ Φ、{1,2} ≥ {1}、{1,2} ≥ {2}、{1} ≥ Φ、{2} ≥ Φ，但 {1} 和 {2} 不能比較大小。）

值得注意的一點是全序集和偏序集包括本身和比較大小的關係「≥」。改變「≥」的定義後所得的會被視為另一個全序集或偏序集。在以上例子中，若對 P(S) 中的元素 X、Y 改為定義 Y ≥ X 當且僅當 Y 的元素之和不小於 X 的元素之和，則 P(S) 會變成一個全序集呢！