2007年10月29日 星期一

概率與「一擲千金」

相信大家都聽過「一擲千金」遊戲。最近,我在某討論區發現有關這遊戲的一則討論: 「到了最後,外間已開了二十四個箱,都不是三百萬。三百萬不是在參與者的箱就是在外間餘下唯一的箱,機會是一半一半嗎?當然不是,在參與者的箱的概率仍是二十六分之一,在外間的箱則是二十六分之二十五。」

大家同意這說法嗎?在讀下去之前不妨停下來先想一想。

我們先看看另一個電視遊戲節目。在遊戲中,參賽者需在三個寶箱中選一個。已知其中兩個寶箱是空的,選中另一個則可贏得名貴房車。參賽者選了一個寶箱後,主持人在餘下兩個寶箱中 打開一個空的寶箱(主持人知道房車的位置,而餘下兩個寶箱中最少一個是空的)。這時還剩下兩個寶箱,分別是參賽者選了的一個和餘下主持人沒有打開的一個。主持人給參賽者一次改變主意的機會,讓他改選餘下沒有打開的寶箱,那麼參賽者應否改變主意?

很多人都認為,餘下兩個寶箱中獎的機會都是二分之一。當然,懂得數學的人都知道參賽者應該改選餘下沒有打開的寶箱,因為那個寶箱中獎的機會其實是三分之二而不是二分之一。

這 對非數學人來說是很難接受的,他們一定會說「明明兩者機會均等,為何概率不是二分之一?」之類的說話。通常我會用以下方法來說服他們:在一副 52 張的紙牌中讓「參賽者」先選一張(選中黑桃 A 便中獎),然後我在餘下 51 張牌中打開 50 張不是黑桃 A 的牌(我會先看過確保不是黑桃 A 才打開),這時只剩下參賽者選的一張牌和我沒有打開的一張牌,然後我給他們機會改選後者,這樣的話一般人大概都會明白改選後者是較為明智的(事實上,後者 中獎的機會是 51/52),儘管他們可能仍是一頭霧水。

現在回到「一擲千金」的遊戲。26 個寶箱打開了 24 個後,三百萬的寶箱還沒有打開。那麼參賽者一開始選定的寶箱是三百萬寶箱的機會,是 1/26 嗎?表面上看,這跟之前所說的沒有兩樣,都是在 n 個選擇中先選一個,然後「打開」了 n-2 個,最後餘下參賽者原先選了的個和沒有被打開的一個。(以上三個情況分別對應於 n = 3, 52, 26。)

然而,只要稍為分析一下,便知道「一擲千金」中的情況其實是不同的。假設餘下的兩個寶箱分別是一元和三百萬,則如果參賽者的寶箱是三百萬的概率真的是 1/26 的話,那麼同理參賽者的寶箱是一元的概率也應該是 1/26,則餘下的 12/13 機會去了哪裡?事實上,參賽者的寶箱是三百萬和一元的概率都是 1/2。

為甚麼「一擲千金」和之前的房車/紙牌遊戲不同呢?關鍵是那 n-2 個「不是房車/黑桃 A/三百萬」的東西是如何打開的。在房車/紙牌的例子中,是由主持人在知情的情況下打開的,但在「一擲千金」中,參賽者是在不知道寶箱內容的情況下打開的。事實上,在前兩者中,每次都可以打開 n-2 個「不是大獎」東西,但在「一擲千金」中,開了 24 個寶箱後仍未開出三百萬的機會只有 1/13 呢!

3 則留言:

zyft 提到...
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zyft 提到...

提起一擲千金,如果真的剩下$1和三百萬,如果banker出價$300 000,你會不會搏呢?這在乎$300 000和$3 000 000在玩家心中差多遠。

這令我想起個著名的問題:「擲硬幣,若第一次擲出正面,你就賺1元。若第一次擲出反面,那就要再擲一次,若第二次擲的是正面,你便賺2元。若第二次擲出反面,那就要擲第三次,若第三次擲的是正面,你便賺2*2元...如此類推,即可能擲一次遊戲便結束,也可能反覆擲沒完沒了。問題是,你最多肯付多少錢參加這個遊戲?」(from wikipedia)
http://en.wikipedia.org/wiki/St._Petersburg_paradox

Kahoo 提到...

如果 banker 出價 30 萬的話,我想我會一博的。

那個 St. Petersburg paradox,牽涉的主要是「utility of money」的問題。一般人對金錢的 utility 並非線性(linear)的,因此有很多「公平遊戲」是沒有人會接受的。(例如:從一副 52 張的紙牌中抽四隻,抽得四隻 A 的話可贏得 27.0724 億,否則輸掉 1 萬元。)