2008年9月23日 星期二

奇怪的經典數學比賽題目--無窮項的處理

  經常參加數學比賽的學生應該遇過以下的兩道題目:

1. 若 x=1+0.1+0.01+0.001+\cdots=\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty10^{-k}},求 x 的值。

2. 若 y=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}},求 y 的值。

  這兩題皆牽涉無窮項的處理。在大學的分析課裏,我們知道處理運算符 (operator) 必須逐一按優先次序處理。例如當我們算 2 + 3 + 4 時,我們應由左至右算出答案 2 + 3 + 4 = 5 + 4 = 9。因為我們的算式只應涉及有限次運算,因此我們不能求無窮項的和。那麼第一題的寫法成立嗎?

  其實我們可把所謂「無窮項的和」只是有限項的和的極限 (limit)。由此可知,第一題可嚴謹地寫成

「設 \color{blue}a_n = \displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}10^{-k}}(即首 n 項的和),求 \color{blue}\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n} 的值。」

  我們不難證明上述的極限(即「無窮項的和」)是 \dfrac{10}{9}

  解決了第一題,到第二題。我們能否嚴謹地將題目裏的表達式寫出來呢?在此之前,先看看求 y 的運算過程。它的最後一步是取(非負)平方根,前一步是加 6,再前一步是取(非負)平方根,再之前的是加 6,並以此規律不斷往前推,推至「無窮項」。根據這種寫法,很多數學書都提供以下的解法:

  「因為這裏應用了無窮個「加 6 後取平方根」的步驟,所以將 y 加 6 後取平方根仍是 y。即 \color{blue}%5Csqrt%7B6+y%7D=%5Csqrt%7B6+%5Csqrt%7B6+%5Csqrt%7B6+%5Csqrt%7B6+%5Ccdots%7D%7D%7D%7D=y。從第一項和第三項的等式可知 \color{blue}6+y=y^2。因平方根號指非負的平方根,故解二次方程後只取正根,可得 y = 3。」

  這種解法有意思嗎?不。從前文的推論,我們可知求 y 的「運算過程」根本不完整。我們只知它不斷運算「加 6 後取平方根」,但卻不知道它的第一步是由甚麼「加 6 後取平方根」。這和第一題的無窮項之和不同。第一題的和有第一項 1,接著是加上第二項 0.1,然後是第三項 0.01,如此類推。因此,我們才可以將它理解為有限項之和的極限。可是第二題裏的怪物卻無從由第一步算起。換言之,這個表達式根本不成立,又怎會有數值?

1 則留言:

楓羽 提到...

第1題是如何證明出來?