奇怪的經典數學比賽題目－－無窮項的處理

　　經常參加數學比賽的學生應該遇過以下的兩道題目：

1. 若 ，求 x 的值。

2. 若 ，求 y 的值。

　　這兩題皆牽涉無窮項的處理。在大學的分析課裏，我們知道處理運算符 (operator) 必須逐一按優先次序處理。例如當我們算 2 + 3 + 4 時，我們應由左至右算出答案 2 + 3 + 4 = 5 + 4 = 9。因為我們的算式只應涉及有限次運算，因此我們不能求無窮項的和。那麼第一題的寫法成立嗎？

　　其實我們可把所謂「無窮項的和」只是有限項的和的極限 (limit)。由此可知，第一題可嚴謹地寫成

「設 （即首 n 項的和），求 的值。」

　　我們不難證明上述的極限（即「無窮項的和」）是 。

　　解決了第一題，到第二題。我們能否嚴謹地將題目裏的表達式寫出來呢？在此之前，先看看求 y 的運算過程。它的最後一步是取（非負）平方根，前一步是加 6，再前一步是取（非負）平方根，再之前的是加 6，並以此規律不斷往前推，推至「無窮項」。根據這種寫法，很多數學書都提供以下的解法：

　　「因為這裏應用了無窮個「加 6 後取平方根」的步驟，所以將 y 加 6 後取平方根仍是 y。即 。從第一項和第三項的等式可知 。因平方根號指非負的平方根，故解二次方程後只取正根，可得 y = 3。」

　　這種解法有意思嗎？不。從前文的推論，我們可知求 y 的「運算過程」根本不完整。我們只知它不斷運算「加 6 後取平方根」，但卻不知道它的第一步是由甚麼「加 6 後取平方根」。這和第一題的無窮項之和不同。第一題的和有第一項 1，接著是加上第二項 0.1，然後是第三項 0.01，如此類推。因此，我們才可以將它理解為有限項之和的極限。可是第二題裏的怪物卻無從由第一步算起。換言之，這個表達式根本不成立，又怎會有數值？