2008年9月6日 星期六

投票選冠軍的概率問題--錯處在哪?(下)

注意:請先看畢本文的第一部分,並想過當中的概率問題才看這篇文章。
  正如第一部分的提示所說,我們先考慮只有 3 人投票的情況。假設兩位參賽者為 P 和 Q,三位觀眾 A、B 和 C 皆隨機投票。現計算各情況下 A 可參加抽獎的概率:
A 的選擇B 的選擇C 的選擇冠軍A 可否參加抽獎?
PPPP可以
PPQP可以
PQPP可以
PQQQ不可以
QPPP不可以
QPQQ可以
QQPQ可以
QQQQ可以
由上表可知,A 可獲抽獎的概率是 \frac{6}{8}=\frac{3}{4},而不是第一部分提及的 \frac{1}{2}。原因很簡單:當 A 投了票,他所選的對象便已獲一票,故當其他人隨機投票時,A 所選的對象便較有優勢,只需在餘下的票取得剛好一半便勝出。那麼第一部分提及的「因為所有人都隨機投票,所以兩名參賽者得冠軍的概率相等,皆為 \frac{1}{2}」錯了甚麼?其實它沒錯,只不過在這裏不適用。這是因為經過 A 的投票後,兩位參賽者 P 和 Q 已經不對稱了。這一點在票數較少的情況下才明顯。
  接著我們考慮 A 被抽中的概率:

A 的選擇B 的選擇C 的選擇冠軍此情況
的概率
此情況下
A 被抽中的概率
A 被抽中
的概率
PPPP\frac{1}{4}\frac{1}{3}\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{12}
PPQP\frac{1}{4}\frac{1}{2}\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}
PQPP\frac{1}{4}\frac{1}{2}\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}
PQQQ000
QPPP000
QPQQ\frac{1}{4}\frac{1}{2}\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}
QQPQ\frac{1}{4}\frac{1}{2}\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}
QQQQ\frac{1}{4}\frac{1}{3}\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{12}





總計\frac{1}{3}


  你看,A 被抽中的概率是 \frac{1}{3},與我們預期的相同。至於第一部分提到的情況,各位自行算一算吧,情況很相似。

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