數學資料庫手記: 投票選冠軍的概率問題－

2008年9月6日星期六

投票選冠軍的概率問題－－錯處在哪？（下）

注意：請先看畢本文的第一部分，並想過當中的概率問題才看這篇文章。
　　正如第一部分的提示所說，我們先考慮只有 3 人投票的情況。假設兩位參賽者為 P 和 Q，三位觀眾 A、B 和 C 皆隨機投票。現計算各情況下 A 可參加抽獎的概率：

A 的選擇	B 的選擇	C 的選擇	冠軍	A 可否參加抽獎？
P	P	P	P	可以
P	P	Q	P	可以
P	Q	P	P	可以
P	Q	Q	Q	不可以
Q	P	P	P	不可以
Q	P	Q	Q	可以
Q	Q	P	Q	可以
Q	Q	Q	Q	可以

由上表可知，A 可獲抽獎的概率是 $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$ ，而不是第一部分提及的 $\frac{1}{2}$ 。原因很簡單：當 A 投了票，他所選的對象便已獲一票，故當其他人隨機投票時，A 所選的對象便較有優勢，只需在餘下的票取得剛好一半便勝出。那麼第一部分提及的「因為所有人都隨機投票，所以兩名參賽者得冠軍的概率相等，皆為 $\frac{1}{2}$ 」錯了甚麼？其實它沒錯，只不過在這裏不適用。這是因為經過 A 的投票後，兩位參賽者 P 和 Q 已經不對稱了。這一點在票數較少的情況下才明顯。
　　接著我們考慮 A 被抽中的概率：

A 的選擇	B 的選擇	C 的選擇	冠軍	此情況的概率	此情況下 A 被抽中的概率	A 被抽中的概率
P	P	P	P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$
P	P	Q	P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
P	Q	P	P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
P	Q	Q	Q	0	0	0
Q	P	P	P	0	0	0
Q	P	Q	Q	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
Q	Q	P	Q	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
Q	Q	Q	Q	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$
					總計	$\frac{1}{3}$