流行榜最多得幾個獎？

某電台年終的樂壇頒獎禮，會頒發十首歌曲獎。聽聞有規定，每個歌手不可拿兩首或以上的歌曲獎。而江湖傳聞，若兩人合唱的歌曲，每人只算1/2個獎；三人合唱的歌曲，每人只算1/3個獎；如此類推。

於是我腦裏閃過一個問題：每個歌手最多可以拿多少個獎？數學上，可以將問題這樣表達：

求 的supremum。


甚麼是supremum呢？簡單來說就是"smallest upper bound"。舉個例子，若一個集合裏面的元素是3/2, 7/4, 15/8, 31/16, ... 等可表達成的數。這個集合可以有很多不同的upper bound，例如3、4、1,000,000,000等。而2當然也是其中一個upper bound。

而我們可以證明所有比2小的數都不是這個集合的upper bound。設，而。那麼必然存在一個正整數N，使得。這樣的話，所以a不是該集合的upper bound。因此2是該集合的"smallest upper bound"，亦即該集合的supremum。

以上的例子亦說明了supremum一個特點：雖然它是該集合的upper bound，但該集合裏沒有元素是等於2的！

說回頒獎禮的問題。從S的定義來看，2明顯地是S的一個upper bound。但它是supremum嗎？在數學資料庫的論壇，我和其他網友有一些關於這題的討論。歡迎大家發表意見！