概率與「一擲千金」

相信大家都聽過「一擲千金」遊戲。最近，我在某討論區發現有關這遊戲的一則討論： 「到了最後，外間已開了二十四個箱，都不是三百萬。三百萬不是在參與者的箱就是在外間餘下唯一的箱，機會是一半一半嗎？當然不是，在參與者的箱的概率仍是二十六分之一，在外間的箱則是二十六分之二十五。」

大家同意這說法嗎？在讀下去之前不妨停下來先想一想。

我們先看看另一個電視遊戲節目。在遊戲中，參賽者需在三個寶箱中選一個。已知其中兩個寶箱是空的，選中另一個則可贏得名貴房車。參賽者選了一個寶箱後，主持人在餘下兩個寶箱中 打開一個空的寶箱（主持人知道房車的位置，而餘下兩個寶箱中最少一個是空的）。這時還剩下兩個寶箱，分別是參賽者選了的一個和餘下主持人沒有打開的一個。主持人給參賽者一次改變主意的機會，讓他改選餘下沒有打開的寶箱，那麼參賽者應否改變主意？

很多人都認為，餘下兩個寶箱中獎的機會都是二分之一。當然，懂得數學的人都知道參賽者應該改選餘下沒有打開的寶箱，因為那個寶箱中獎的機會其實是三分之二而不是二分之一。

這 對非數學人來說是很難接受的，他們一定會說「明明兩者機會均等，為何概率不是二分之一？」之類的說話。通常我會用以下方法來說服他們：在一副 52 張的紙牌中讓「參賽者」先選一張（選中黑桃 A 便中獎），然後我在餘下 51 張牌中打開 50 張不是黑桃 A 的牌（我會先看過確保不是黑桃 A 才打開），這時只剩下參賽者選的一張牌和我沒有打開的一張牌，然後我給他們機會改選後者，這樣的話一般人大概都會明白改選後者是較為明智的（事實上，後者 中獎的機會是 51/52），儘管他們可能仍是一頭霧水。

現在回到「一擲千金」的遊戲。26 個寶箱打開了 24 個後，三百萬的寶箱還沒有打開。那麼參賽者一開始選定的寶箱是三百萬寶箱的機會，是 1/26 嗎？表面上看，這跟之前所說的沒有兩樣，都是在 n 個選擇中先選一個，然後「打開」了 n-2 個，最後餘下參賽者原先選了的個和沒有被打開的一個。（以上三個情況分別對應於 n = 3, 52, 26。）

然而，只要稍為分析一下，便知道「一擲千金」中的情況其實是不同的。假設餘下的兩個寶箱分別是一元和三百萬，則如果參賽者的寶箱是三百萬的概率真的是 1/26 的話，那麼同理參賽者的寶箱是一元的概率也應該是 1/26，則餘下的 12/13 機會去了哪裡？事實上，參賽者的寶箱是三百萬和一元的概率都是 1/2。

為甚麼「一擲千金」和之前的房車／紙牌遊戲不同呢？關鍵是那 n-2 個「不是房車／黑桃 A／三百萬」的東西是如何打開的。在房車／紙牌的例子中，是由主持人在知情的情況下打開的，但在「一擲千金」中，參賽者是在不知道寶箱內容的情況下打開的。事實上，在前兩者中，每次都可以打開 n-2 個「不是大獎」東西，但在「一擲千金」中，開了 24 個寶箱後仍未開出三百萬的機會只有 1/13 呢！