2008年9月19日 星期五

流行榜最多得幾個獎?

某電台年終的樂壇頒獎禮,會頒發十首歌曲獎。聽聞有規定,每個歌手不可拿兩首或以上的歌曲獎。而江湖傳聞,若兩人合唱的歌曲,每人只算1/2個獎;三人合唱的歌曲,每人只算1/3個獎;如此類推。

於是我腦裏閃過一個問題:每個歌手最多可以拿多少個獎?數學上,可以將問題這樣表達:

的supremum。


甚麼是supremum呢?簡單來說就是"smallest upper bound"。舉個例子,若一個集合裏面的元素是3/2, 7/4, 15/8, 31/16, ... 等可表達成的數。這個集合可以有很多不同的upper bound,例如3、4、1,000,000,000等。而2當然也是其中一個upper bound。

而我們可以證明所有比2小的數都不是這個集合的upper bound。設,而。那麼必然存在一個正整數N,使得。這樣的話,所以a不是該集合的upper bound。因此2是該集合的"smallest upper bound",亦即該集合的supremum。

以上的例子亦說明了supremum一個特點:雖然它是該集合的upper bound,但該集合裏沒有元素是等於2的!

說回頒獎禮的問題。從S的定義來看,2明顯地是S的一個upper bound。但它是supremum嗎?在數學資料庫的論壇,我和其他網友有一些關於這題的討論。歡迎大家發表意見!

2 則留言:

Andy Chan 提到...
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Andy Chan 提到...

剛才在講數天地回答了,請到這裏看看。