Polynomial roots

An elementary problem seen from other site.

Let be a polynomial with odd integral coefficients,

show that it cannot have rational root.

2010年9月19日 Seminar

日期：2010 年 9 月 19 日（星期日）
時間：下午 4 時 30 分至 6 時
地點：香港理工大學 (Rm:N001)
講者：Patrick Youkidean 先生（香港科技大學數學系研究生）
講題：抽象代數與著名的不可能問題
語言：粵語輔以英語

化圓為方、倍立方和三等分角這三個經典名題至今均沒有純幾何的處理方法，反而是十九世紀時所發展的抽象代數理論讓數學家證明了這些作圖都是不可能的。我們將會探討如何使用代數來解決幾何問題。

Two Interesting Questions

It is a long while since I wrote here last time. I have been to Europe and visited the Deutsche Museum in Munich. There is a small corner about Mathematics there and I took some photos. Maybe I post it next time.

Recently I read two interesting questions. Let me share them here.

1)

Find a smallest finite set of integers, such that every integer in the set is the sum of two other distinct elements in the set. There is one another rule: if x is an element of the set, then -x must NOT be an element of the set.

2)

A square matrix is said to be doubly stochastic if the entries in each row and in each column sum to the same value.

A permutation matrix is a square matrix where each entry in the matrix is either 0 or 1, and there is one and only one entry in each row and in each column which is 1.

Prove that any doubly stochastic matrix is a convex linear combination of permutation matrices.

Comment: The first question is interesting by itself. The second question is considered interesting because an easy solution by induction is possible, after knowing a combinatorial theorem called Hall's Theorem. The question itself may mislead you to some linear algebra arguments.

多買了，反而便宜了？

　　換季了。時裝店裏滿是新一季的秋裝，而未賣完的夏裝則大減價促銷。七折，五折，甚至三折，都不是新鮮事。為求盡快賣掉存貨，不少商店都提供「遞進式折扣」，那就是買得愈多，折扣愈大。我見過以下的折扣表：

「一件五折，兩件四折，三件或以上三折」

　　看過這樣的優惠後，我的第一個反應是：很少人會只買兩件吧？

　　在大多數情況下，很多人應該寧買三件也不買兩件。那是因為多買了，可能反而便宜了。試想想：假設我買了兩件衣服，原價共值　$300。四折後則為　$300 × 40% = $120。如果我多買一件原價　$50 的衣服，三件三折，折扣後為　$350 × 30% = $105。即使這件多買的衣服完全不管用，多買它也立即省了　$15。事實上，簡單的代數運算告訴我們，只要第三件衣服不超過　$100（也就是原來的總價格的三分之一），我們都可以免費拿走它，更可能省下了金錢。

下次遇上這樣的「遞進式折扣」時，不妨留意能否多買而省錢！

新網頁測試

數學資料庫的新網頁已在測試中

http://silver.mathdb.org:8080/silverstripe-test/
網頁的內容會不斷更新.

Abstract Algebra and Famous Impossibilities

Abstract Algebra and Famous Impossibilities

By Patrick Wong, HKUST

Date: July 27, 2010. (Tuesday)
Time: 6:00pm-7:30pm
Venue: Room 4504 (near Lifts 25 & 26) , HKUST
Target Audience: Students with basic algebra background

Abstract: The famous problems of squaring the circle, doubling the cube, and trisecting the angle have not yielded to purely geometrical methods. It was, however, the development of abstract algebra in the nineteenth century which enabled mathematicians to conclude that these constructions are not possible. We are going to look at the way how algebra solve the geometric problems.

寫在高考放榜前（二）

其實要講的事也八八九九說完了。畢竟，既然大學就是開放，只要你敢走自己的路，也無謂多說其他。

今天，只想講一個小故事。

幾年前，一位後輩小學升中。她的成績在小學內一直很好，考試總是頭幾名。她的媽媽來找我，說想女兒升讀一間英文中學，但女兒總是想升讀一間中文中學。我被指派擔當「談判者」的角色。

談了一回，我知道了真正的原因，並認為這原因不成熟。那一刻，我起了一個可怕的念頭：甚麼也不要談了，直接跟她的媽媽說，逼她選一間英文中學。

最後我沒有這樣做——我慶幸自己沒有這樣做。儘管如此，幾年後回想，我仍然為自己曾經有過這樣的念頭而覺得可怕。

我回想自己短短的廿多載人生。是的，很多決定都是幼稚，甚至是錯的。但我慶幸我在人生眾多選擇中，決定權在自己手中——這要多謝我的父母。曾經享受著「高度自治」的人竟然起了這樣的一個念頭？這是何等可怕的事情？

幾年後的今天，我知道這位女兒在自己選擇的新學校中過得快樂。

******

現在，故事發生後的幾年，我讀過了《四代香港人》，亦讀了《三杯茶》裏主角Greg Mortenson的童年經歷，我更深刻的明白到父母與長輩的責任是要以身作則向子女提供良好的品德教育，在適當時候提供意見和輔導，而不是強逼甚至命令子女要做這要做那，令子女漸漸失去判斷力和走人生路的勇氣，變成自己的扯線公仔。

馬會可能通殺？買中了也輸錢？

　　世界盃是國際矚目的體育盛事，不少球迷一邊在電視前搖旗吶喊外，一邊下注，考考自己的眼光。投注項目五花八門，除了每場比賽的賽果外，亦有以世界盃為整體的專項，例如競猜小組首名、冠軍等。以上各種項目裏，只要你猜中了正確的結果（例如哪隊取得冠軍），便肯定獲得彩金，而彩金亦肯定比投注本金多。（如果猜對了也要輸，誰會下注？）可是這種想法未必一定正確。例如競猜誰是「神射手」（世界盃所有比賽裏入球最多的球員）便是一例。在某些情況下，猜錯了要輸掉本金，但猜對了也贏不了！

　　為甚麼會這樣荒謬呢？這是因為「神射手」與世界盃冠軍不同：冠軍只有一個，但「神射手」卻可以超過一個（見註）。簡單來說，假如有兩名球員都射入五球，而沒有人射得六球或以上，這兩名球員都是「神射手」。如果「神射手」多於一個，香港賽馬會如何計算彩金？原來在這種情況下，投注本金會先除以神射手的數量才計算彩金。這就是買中了也要賠錢的關鍵。看看以下的現實例子：

　　準決賽結束後，荷蘭的史奈達 (Wesley Sneijder) 和西班牙的韋拿 （David Villa) 暫時以五球領先。撰寫本文時，韋拿的「神射手」賠率為 1.85 倍。假設現在某人以 1000 元本金下注韋拿為「神射手」。如果決賽和季軍戰都沒有球員入球，史奈達和韋拿將同為「神射手」。雖然這位投注者買中了，但他可得的「彩金」卻只有 1000 ÷ 2 × 1.85 = 925 元，輸了 75 元。如果同射得五球的球員有三個或四個，他將更倒楣，輸得更多。

　　這就是賭博世界常用的併頭名次規則 (dead heat rules)，每當勝出者比預期多時便適用。「併頭名次」在足球世界裏極少發生，只會偶然在賽馬世界出現，難怪這規則不易為人所知。

註：上文提及的「神射手」併頭只在香港賽馬會的賭博規則出現，與國際足協 (FIFA) 的神射手獎 (Golden Boot Award) 的決定規則不同。假如兩名球員射入相同的球數，助攻 (assist) 較多者名次較高；若助攻次數亦相同，總出場時間較短者名次較高。

CMPC Student Seminar Series

A group of people from HKUST are holding a series of seminar in different area in undergraduate mathematics.

The topics are mainly from undergraduate,
students who are interested in are welcome.


The first two seminars will start on the next week.

The location are taken place at the Hong Kong University of Science and Technology.
One can go to the HKUST by minibus at Choi Hung MTR Station (Exit C)


Symmetry, Group Theory and Art
By Hoi Luk, (HKU Space)

Date: July 14, 2010. (Wednesday)
Time: 6:00pm-7:30pm
Venue: Room 4504 (near Lifts 25 & 26) , HKUST
Target Audience: Undergraduate who is interested in exploring more about Abstract Algebra



Abstract: This is an introductory talk on Abstract Algebra. Group is a central concept in Abstract Algebra and it plays important roles in Geometry, Topology, ODE and etc. The talk will include the mathematical concept of symmetry, the use of Group in studying symmetry and Wallpaper Groups in Art. It is designed for undergraduate students who are interested in exploring more about Abstract Algebra and it may serve as the motif for those going to take MATH 311 (Algebra I).



Financial Mathematics - The Art of Compromise

By Jeff Tam, (Tokyo Metropolitan University)

Date: July 15, 2010. (Thursday)
Time: 6:30pm-8:00pm
Venue: Room 4504 (near Lifts 25 & 26) , HKUST
Target Audience: Undergraduate with basic quantitative background who is interested in financial mathematics




Abstract: Financial Mathematics has taken the world by storm since its inception during the 80s. In light of the recent financial crisis, the purpose of this talk is to unveil financial mathematics, divulging vital information such as its theoretical foundation, industrial practice, research frontier, etc. Most importantly, where does the "model world" and "reality" meet? What kind of compromise can bring these two together while (hopefully) not sacrificing too much reliability.



For more details on the coming seminars,

please visit http://ihome.ust.hk/~delamath/CMPC/CMPCSem.htm

Solving IMO Q6 collaboaratively

There's been this proposal on this blog that seeks to solve Q6 of IMO 2010 collaboratively. The proposed starting time is July 8 16:00 UTC (i.e. July 9 00:00 Hong Kong time). Further details can be found in the following blog post.

MD Academic Seminar

數學資料庫將於下星期舉行 academic seminar！詳情如下：

日期：2010 年 6 月 29 日（星期二）
時間：5:30 pm 至 6:30 pm
地點：香港中文大學邵逸夫夫人樓（Lady Shaw Building）232 室
講者：陳鍵行先生（University of Illinois at Chicago）

註：從港鐵大學站（中文大學出口）轉右，可乘坐中文大學校巴於潤昌堂下車，步行約兩分鐘即可抵達邵逸夫夫人樓。星期二的校巴於每小時 00、15、20、30、40、45 分在大學站開出，車程約 5 分鐘。

=====================================================

《密碼攻防戰》

我們每天都需要與不同的人和網站交換數據，當中包括了很多秘密和需要保密的資料。我們如何以數學的方法保護傳送的資料，只讓特定的人閱讀它們？與此同時，它們又可如何破解？講座將深入淺出地介紹從古到今數學在密碼學裏的應用。

War of Encryption

We have to exchange data with many people and websites every day, in which they contain a lot of secrets and confidential information. How can we protect our transferred data with mathematics and only let authorized people read them? At the same time, how can they be cracked? We will discuss the use of mathematics in encryption from the ancient times to the modern world.

寫在高考放榜前（一）

記得去年母校一名師弟想入數學系，問我有甚麼忠告，我想了一想，「近君子，遠小人；勤讀書，多問人。」

時代進化到一個可怕的地步，開始有人challenge「勤讀書」是否大學生應做的行為。那麼我自認老土算了，我還是覺得勤力是大學的一個應有態度。不過，向經歷會考、高考的人提醒一句，大學的勤力不再是死力，大學的讀書也不是只對著一堆書。不要死讀書，在大學也不要只對著書，大學一個最大功用就是讓你良知未被污染時認識這個社會。

******

我最想說的是「近君子，遠小人」。與友人談香港大學生的問題，說來說去，重點離不開一個——大部分學生都在做同一樣的事，你看不見variety。我說的「君子」和「小人」，「小人」其實是指平庸之人，而「君子」是指能夠執著公義但又有個人風格、敢於走自己的路的人（舉個例，那些會說六四事件中共派軍隊射殺學生無錯、那些四處問人搵source抄功課的同學，少接觸為妙）。

踏入大學，第一個活動就是O Camp。我聽過「組爸」、「組媽」會教你怎樣選好grade的course，我甚至聽聞過他們在O Camp談抄功課的經驗。在這樣的氛圍下，再接觸一班「小人」，我敢說一句，你讀完大學除了多一張沙紙外，也只會變得更為平庸。

可幸的是，儘管大學平庸化，我仍幸福地在五年的科大生涯中見到各式各樣值得欣賞的人：有人飽覽群書、有人是圍棋/象棋/攝影高手、有人敢於批評自己學系的教學和研究、有人善用假期到世界各地旅行和做義工、有人遇到數學/物理難題總有與別不同的見解，等等等等。大學的可愛，正正在於其包容多元、實踐多元。

每次我回憶Google兩位創辦人的故事，又或者傳奇人物Steve Jobs的一生，我都會深感大學的偉大。（嗯，比較懶，不加鏈結了，你們自己Google一下這三位成功人物的故事吧；建議大家在YouTube找找Steve Jobs的"stay hungry, stay foolish"的大學畢業典禮演說。）

******

那時跟師弟其實說少了一樣，「多思考」。大學的數學，不再像純數或應數般有一定的問題模式。每一科數學都需要你用更宏觀的角度去看概念。每每見到一個新的定義、概念，就要問為甚麼它會出現（motivation）。學了一科後要問自己這一科的大方向是甚麼；答不出的話，那大概跟沒有學過沒甚麼分別了。

寫在高考放榜前（序）

一直想寫幾篇文章，給中六、七準備入大學的中學生一個參考，究竟讀大學是甚麼一回事。因為身份問題，我必須聲明一下，雖然我打從心底裏覺得數學好，但我不是會去說服人來讀數學的人。不過，雖然這些文章不一定全部跟數學有關聯，但身為半個數學人（另半個是電腦人），穿插一些數學也是必須/無可避免的。

******

大學是怎樣的一回事，這個問題，畢竟太複雜。就地取材，想像若一間中學的學生會要求將民主女神搬到中學擺放展覽，而那間中學拒絕的話，肯定不會惹來傳媒大眾學生圍攻。換了一間香港中立大學，呀對不起打錯字，是香港中文大學才對，卻換來一眾有識之士狠批、學生抗議，甚至連保皇派的一些鼠輩都抽水一番。由此可見，大學與中學，有一種精神層次上的區別，而不是一般中學生所想的「讀o既嘢有咩唔同」那麼簡單。

又或者，中學生上堂的時間是固定的，科目也大致固定的（雖然新高中的彈性多了），上到大學之後，卻是在較少的限制下可以自己選科，有些大學生一星期可以只返學兩三天又或者下午三點鐘才上第一課。其他的自由時間，是做part time、上莊、煲劇煲動漫、認識社會、多做些運動、多修其他科、讀多些書準備上研究院、甚至在本科就開始做研究，又還是白白的浪費，it is up to your choice。你想自由，是放縱還是make a life，還是你想做成龍口中的中國人，總愛給人管一管？

******

上兩段也許說得令中學生摸不著頭腦。從天上走回人間，即使那個「讀o既嘢有咩唔同」看似簡單的問題，我自己接觸到的中學生，大多也是答不著。

係咪Pure Maths cred咗就有足夠能力去讀工程？

A-Level的物理和大學物理有甚麼分別？

為甚麼讀商科要英文好（我從來都唔覺李嘉誠英文好）？

Pure Maths處理3x3的matrix，大學再難也不外乎就是需處理4x4甚至更大的matrix吧？

你會考有讀電腦，覺得編程幾好玩。大學讀電腦就是寫更長的program嗎？

以上是一些標準問題。而我個人相信大部分中學生根本就答不到這些問題，但他們卻要在JUPAS填上他們的選擇——一些明顯沒有對大學有基本認識的中學生填上他們大學選科的人生重大決定。三年大學制，沒有時間沒有空間，害了多少大學生？可幸大學將轉四年制，期待各大學將課程重新編訂後，學生可以先花一年半載認識甚麼是大學才做決定。

******

這篇序似乎真的和數學扯不上邊，可幸這裏是blogger不是微博，文章應該不會被隨便刪掉吧。嗯，下一篇應該多點數學了。

[轉貼]A Sad Story in Academia

This is a sad story in academia.

I post here not to blame any particular person, but wanna to let ordinary readers, which may not be in academia, sees another view of the academia, which may have been phenotyped by media.

I decided to pursue PhD study in America, one main reason due to my interest in the subject of Math and CS, and another reason is although there can be such sad stories in academia, as far as I know, in most cases, the truth is still ultimately respected in academia.

MAC2010 決賽作品感想

有不少文章類的作品臨時採用 html 格式 ..
這是極不明智的。

普遍作品也有以下人為錯誤.

(1) 「C Drive 大法」 (有的作品甚至乎連用戶名稱也放在連結上..)
(2) 全形’ 和 半形'
(3) Flash 亂碼問題 (UTF-8 , BIG-5 與 Locale 的設定)
(4) 放錯 link (如 main.html 及 X theory main.html 的分別"
(5) htm 與 html 檔名不分

嚴重的甚至連檔案也不能開啟...
以致變成空白檔

(如把上述因素計算在內....
決賽名單中至少有兩份作品可當成 "not submitted")

以小說作為題材的純文字文章，可參考 一些輕小說網站的做法也可以.

圖文並茂的...建議用 pdf 格式儲存
以確保 評判在任何電腦上開啟閱讀時仍保持 原有的排版等.
(html 絕不能確保排版, 完全取決於評判的電腦)

直角三角形的中線（四）

之前已經看過這個幾何問題的七個解。這裡我們再多看三個。如果大家有其他解法的話，歡迎隨時提供。

解法八

設 AD = DC = x，∠BAC = y，則 AB = 2x cos y。在 △ABD 中運用餘弦定律（cosine law），我們有

BD² = (2x cos y)² + x² - 2 (2x cos y) (x) cos y = x²

從而 DA = DB = DC = x。

解法九

設 ∠ADB = y，則 ∠CDB = 180^o - y。分別對 △ABD 和 △CBD 運用餘弦定律，我們有

　　　AB² = DA² + DB² - 2 (DA) (DB) cos y
　　　BC² = DC² + DB² - 2 (DC) (DB) cos (180^o - y)

由於 DA = DC，AB² + BC² = AC² = 4 DA²，且 cos y = -cos (180^o - y)，故加起以上兩式可得

　　　4 DA² = 2 DA² + 2 DB²

從而 DB = DA (= DC)。

解法十

由於 BA 與 BC 垂直，且 D 是 AC 的中點，故此

即 DB = DA (= DC)。

直角三角形的中線（三）

繼續這個幾何問題的其他解法。

解法五

考慮 △ABC 的外接圓：

由於 ∠ABC = 90^o，所以 AC 是圓的直徑，D 是圓的圓心。由於 DA、DB、DC 都是圓的半徑，故此它們的長度相等。

解法六

沿 AB 反射 C 到 C'，我們有 BC = BC'。由中點定理可知 AC' // DB。設 E 為 C 到 AC’ 的垂足，則 A、E、B、C 四點共圓，故 ∠BEC = ∠BAC。


設 CE 與 BD 的交點為 F，則 ∠DFC = 90^o，故由截線定理可知 EF = FC。因此 △BEF 和 △BCF 全等 (SAS)，從而 ∠BCE = ∠BEC = ∠BAC。

由此可知 ∠ABD = 90^o - ∠FBC = ∠BCE = ∠BAC，故 DB = DA (= DC)。

解法七

設 B 為原點，A = (0, 2a)，C = (2c,0)。由於 D 是 AC 的中點，故此 D = (c, a)。經直接計算可知

直角三角形的中線（二）

上回提到一個幾何問題和它的一個解。你想到多少個其他解法呢？這裡我們先看看其中三個：

解法二

設 E 為 AB 的中點。由中點定理可知 ED 與 BC 平行，故 ∠AED = 90^o，從而 △ADE 和 △BDE 全等 (SAS)，因此 DB = DA (= DC)。

解法三

我們知道，三角形中「大角對長邊、小角對短邊」。若 DC = DA > DB，則有 ∠ABD > ∠BAD 和 ∠DBC > ∠DCB，從而 90^o = ∠ABD + ∠DBC > ∠BAD + ∠DCB = 90^o，矛盾。同理，若 DB > DC = DA，則有 ∠ABD < ∠BAD 和 ∠DBC < ∠DCB，從而 90^o = ∠ABD + ∠DBC < ∠BAD + ∠DCB = 90^o，矛盾。

故此 DC = DA = DB 必定成立。

解法四

沿 AB 反射 C 到 C'，我們有 AC = AC' 和 BC = BC'。由中點定理可知 2DB = AC' = AC。由於 D 是 AC 的中點，故此 DB = DA = DC。

S.S.A.

兩邊非夾角足夠成為兩個三角形的全等條件嗎？



相信不難由圖中找出反例吧。

有什麼時候 SSA 能夠成條兩個三角形全等的條件呢？

(試由上圖假設 ABC_1 , ABC_2 兩組三角形全等)

---

上圖由幾何軟件 GeoGebra 繪製而成.

大致上的 command 如下:

A=(0,0)
X=(10,0)
a=Line[A,X]
X'=Angle[X,A,50°]
Segment[A,X']
d=Circle[X',8]
Intersect[d,a]

直角三角形的中線（一）

設 ABC 為直角三角形，B 為直角。從 B 作中線到 AC 的中點 D，試證明 DA = DB = DC。



這題有很多不同的解法，以下先列出一個。你能想出其他解法嗎？

解法一

作點 E 使得 ABCE 為長方形。


由於長方形的對角線互相平分，而 D 是 AC 的中點，故可知 B、D、E 成一直線。再由長方形兩條對角線相等的性質可知 DA = DB = DC (= DE)。

[轉貼]由三分之二變成0.66

幸好香港立法會人數不多，不然的話政改方案通過與否，可能需要人大釋法，解釋三分之二的值是多少。

At Issue In a Massachusetts Town, the Value of Two-Thirds

BTW，這件事會教一些人想起那道培正數學邀請賽第一屆的經典題目吧。

Algebra and Algorithm

A quote from the book "A History of Abstract Algebra" by Israel Kleiner:

Islamic mathematicians attained important algebraic accomplishments between the ninth and fifteenth centuries AD. Perhaps the foremost among them was Muhammad ibn-Musa al-Khwarizmi, dubbed by some "the Euclid of agebra" because he systematized the subject and made it into an independent field of study. He did this in his book al-jabr w al-muqabalah.

A small game: the book says that the words "Algebra" and "Algorithm" are derived from two words in the quoted paragraph. Can you find them?

一道概率問題（下）

上回提到，在計算概率並數算「可能結果的總數」時，必須確保每個可能結果的出現機會均等。這裡我們以一道培正數學邀請賽的試題來加以說明。

今年培正數學邀請賽決賽的中四組第 9 題和高中組第 10 題是相同的，都是計算題中遊戲的勝出概率。由於每個球可射進其中一條坑道，因此可能的結果共有 5⁵ = 3125 個。以「成一鉛垂線」勝出的可能結果有 5 個，而以「成一水平線」勝出的可能結果則有 5! = 120 個（因為該 5 個球有 120 種不同方式被「分配」進 5 條坑道）。因此答案是 (5+120)/3125 = 1/25。

本題有 45.4% 的參賽者答對，以「5 分題」來說屬正常水平。值得留意的反而是三個最常見的錯誤答案，它們分別是 6/3125（12.8%）、1/21（8.2%）和 2/3125（2.0%）。參賽者是如何得出這些答案的呢？

6/3125 顯然是因為把以上的「120」當成了「1」，而這顯然是不正確的，因為在數算出 3125 個可能結果的過程中，那「1」個可能結果（即 5 個球成一水平線）是被數算了 120 次的。而 2/3125 則顯然是把「5」和「120」都當成了「1」，也自然是不正確的。

1/21 呢？相信這是從 6/126 化簡而來的。「6」個勝出的結果自然是「5 直 1 橫」。如果「成一水平線」的結果只算一次的話，那麼可能結果的總數是多少？（也就是說我們只關心每條坑道中球的數目，例如 (1,1,1,1,1) 只算一次，這個在之前的解法中是算了 120 次的；而 (5,0,0,0,0) 和 (0,5,0,0,0) 則算作兩個不同的結果。這裡 (0,5,0,0,0) 表示 5 個球都被射進第二條坑道，如此類推。）這個總數就是方程 a+b+c+d+e=5 的非負整數解的數目，即 H(5,5) = C(9,5) = 126。

這個解法有甚麼問題呢？問題正正就出在之前所說的「必須確保每個可能結果的出現機會均等」那兒。出現 (0,5,0,0,0) 顯然比 (1,1,1,1,1) 難：直觀地想，前者必須每個球都射進第二條坑道，至於後者，則開首的幾個球有「較大的自由度」。因此這樣計算出來的概率是不正確的，這跟 5 個球相同與否（identical or distinguishable）也是無關的（直觀地想，5 個球的顏色相同或不同，應該不會影響勝出的機會吧！）。

當然，在高等數學中，概率的定義要嚴格得多。有興趣的讀者可以參看數學資料庫關於概率的教學單元。

一道概率問題（上）

在中學教科書中，概率（probability）的定義一般是這樣寫的：

　　　　　　　　　　　符合Ｅ的結果的數目
　　事件Ｅ的概率　＝　－－－－－－－－－
　　　　　　　　　　　　可能結果的總數

在高等數學中，概率的定義要複雜得多，因此在中學教科書中有一個「簡易版」實在可以理解。然而，以上版本卻未免太簡易了，很容易「鬧出笑話」，例如：六合彩頭獎的中獎機會是多少？由於可能結果有兩個（「中」或「不中」），那麼機會應該是 1/2 吧？另一個人說：非也，六合彩有頭獎至七獎，也可能不中獎，所以頭獎的中獎機會應是 1/8 才對。

這當然是不正確的。錯誤在那裡呢？在數算「可能結果的總數」時，我們必須確保每個可能結果都是「出現機會均等」的，而在以上例子中，「中」與「不中」顯然不是機會均等的，因此我們不能說可能結果有兩個。

投擲兩顆骰子，總數是 11 點的概率是多少？這個不難，可能的結果有 6x6 = 36 個，符合條件的結果有 (5,6) 和 (6,5) 兩個，因此答案是 2/36 = 1/18 吧。為甚麼 (5,6) 和 (6,5) 應算作兩個不同的結果？（同樣道理，在數算可能結果的總數時，(1,2) 和 (2,1) 等也是數了兩次，因此才得出 36 這個數的。）那正正就是因為要確保每個可能結果的「出現機會均等」-- 如果 (5,6) 和 (6,5) 只算一次，而 (1,1) 也算一次的話，那麼 {5,6} 出現的機會是比 (1,1) 高的。

值得注意，(5,6) 和 (6,5) 應該算是一個可能結果還是兩個，跟兩顆骰子是否相同（identical or distinguishable）是無關的。而「出現機會均等」這條件的重要性，我們在下回將以一道培正數學邀請賽的題目作說明。

培正數學邀請賽決賽 -- 試題及答案

第九屆培正數學邀請賽決賽題目已經上載。

中一組：http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching09_F1.pdf
中二組：http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching09_F2.pdf
中三組：http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching09_F3.pdf
中四組：http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching09_F4.pdf
高中組：http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching09_F5.pdf
答案：　http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching09_FA.pdf

數學資料庫 academic seminar

數學資料庫於三月中舉行的 academic seminar 的詳情如下：

日期：2010 年 3 月 14 日（星期日）
時間：下午 4 時 30 分至 5 時 30 分
地點：香港城市大學教學樓 P4909 室（紫區）
講者：潘瑛小姐（香港大學數學系研究生）

=====================================================

Finite Geometry and Combinatorics

Finite Geometry is a kind of Geometry which is often used in computer programming and design (a branch of statistics).

In Euclidean Geometry, we seldom use "counting" to solve a problem. However, in finite geometry, combinatorics plays an important role. Also, finite geometry helps to solve problems in combinatorics, such as the Kirkman's schoolgirl problem.

In this talk, we will introduce two important objects in Finite Geometry: finite projective planes and finite generalized quadrangles and use counting to see some interesting structures of them.

圓周率日活動

3 月 14 日（星期日）是圓周率日，也是數學資料庫的生日！如此大日子，我們安排了一連串的活動，大家萬勿錯過！

· 當天下午數學資料庫將舉辦 academic seminar（詳情快將在此公佈）。
· 當天晚上是數學資料庫的週年晚宴暨生日會，安排如下：

時間：下午 6 時
地點：城峰閣（香港城市大學康樂樓九樓）
收費：中學生 -- 98 元
　　　其他　 -- 118 元
　　　預先登記每位減收 10 元*

除了豐富的自助美食外，當晚更設有遊戲活動和幸運大抽獎，有機會贏得數學資料庫神秘大獎！機會難逢，快跟朋友一起電郵至 mathdb.fomd@gmail.com 報名吧！

* 需於 3 月 12 日（星期五）下午 8 時前連同姓名、人數（中學生和非中學生）和聯絡電話電郵至 mathdb.fomd@gmail.com，我們將以電話回覆作實。

骰戰

以下有三個問題，你能在短時間給出解釋和答案嗎？

甲有三粒骰，乙有兩粒骰。他們各自摘骰後，設甲三粒骰的數字由大至小為A1,A2,A3，乙兩粒骰的數字由大至小為B1,B2。

1) 若A1比B1大，甲得一分；若B1比A1大，乙得一分。若A2比B2大，甲得一分；若B2比A2大，乙得一分。誰分數較多為勝。問誰贏的機會較大？

2) 規矩同1)，但再加一條：若A3是1、2或3，乙得一分；若A3是4、5或6，甲得一分。現在誰贏的機會較大？

3) 規矩同1)，但若A1=B1，乙得一分；若A2=B2，乙得一分。（在1)時，若A1=B1或A2=B2，甲乙都沒有分數。）現在誰贏的機會較大？

當然，這些都不是特別難的概率問題，你大可仔細地算出兩者贏出的機會。但，你可以作出一個non-quantitative的解釋嗎？（註：我不肯定是否有non-quantitative的解釋，但大家可以想想。）

Nice Example on Schutte Problem

Some background first. A tournament of N players mean a competition that every pair of players play against each other exactly once. In our case, no draw is allowed; either one wins or the other wins.

A tournament is with Schutte property of order k if every set of k players are all defeated by one of the other players.

Using probabilistic method, it is easy to show that for any k, there exists sufficiently large N such that a tournament with Schutte property of order k is possible.

My focus here is a cute example of tournament with Schutte property of order 2: when N=7, name the players by 0,1,2,...,6, then a tournament with Schutte property of order 2 is given by:

i defeats j if and only if (i-j) is a quadratic residue of 7.

培正數學邀請賽初賽 -- 試題及答案

第九屆培正數學邀請賽初賽題目已經上載。

中一組：http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching09_H1.pdf
中二組：http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching09_H2.pdf
中三組：http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching09_H3.pdf
中四組：http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching09_H4.pdf
高中組：http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching09_H5.pdf
答案：　http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching09_HA.pdf

數學網頁資料設計比賽 2010

數學資料庫將於香港資優教育學院合辦「數學網頁資料設計比賽 2010」，詳情可參閱 http://www.mathdb.org/mac/2010/。

我們將於 1 月 29 日與資優教育學院共同舉行簡介會，讓老師和同學瞭解比賽詳情。有興趣的老師和同學快填妥簡介會回條並按指示遞交吧！

神奇教練

前排睇新聞，話國際米蘭係意甲聯賽賽事尾段連入兩球，以4-3險勝錫耶納，保住了國際米蘭教練摩連奴近八年執教球隊主場不敗的紀錄。

感覺這個神奇教練真的很神奇。但怎樣將這樣的「神奇」量化呢？有！假設他執教球隊主場每場不敗的機會是95%，而球隊每年主場賽事最少25場，那麼八年就有200場主場賽事。這可能有些誤差，那就當它是180場吧。那麼180場不敗的概率的機會率只有0.00009778。

（聲明：以上計算的假設毫不嚴謹，亦無任何統計數據backup支持，純為筆者吃飽飯沒事幹（現為紐約時間晚上九點左右）發表的文章。）

培正數學邀請賽：最新消息

數學資料庫協辦的培正數學邀請賽初賽將於下星期六（1 月 23 日）舉行。有關詳情已上載至比賽網頁。參賽同學及領隊老師請特別注意以下事項：

1. 准考證已寄給各參賽學校及個人報名的參賽者。
2. 參賽者必須帶備准考證及身分證應考。
3. 參賽者應使用大會提供的 HB 鉛筆作答（答題紙樣本），惟需自備橡皮擦及其他文具。
4. 如答案小於 1000，須「補 0」以湊足四位，例如：如答案為 39，應填「0039」。
5. 本年將不會派發答案予領隊老師。試題及答案將於初賽後盡快上載至數學資料庫（屆時會在本網誌公佈），亦會於一星期內上載至比賽網頁。